Soy un estudiante de primer año y estoy tomando el curso de física general. Me acabo de enterar de introducción de la termodinámica. Uno de los problemas que realmente me intriga es el cálculo de la "colisión libre medio camino", donde el cálculo de la media de la velocidad relativa entre las moléculas de gas que se necesita. Nuestro libro de texto, simplemente da un resultado $$\langle |v_r|\rangle =\sqrt2\langle |v|\rangle $$, sin más explicación.
Aquí estoy usando corchetes angulares ($\langle \rangle $) para representar el "valor medio" de lo que hay dentro. Y tenga en cuenta que todas las velocidades de aquí son los vectores, así que estoy usando el valor absoluto de los símbolos para obtener la "velocidad".
Mi profesor ha proporcionado una explicación de la siguiente manera:
Suponga que se selecciona una arbitraria de Una molécula, con la velocidad de $v$ a la "estacionaria", como el marco de referencia. Y supongamos que otro seleccionado arbitrariamente de la molécula de B tiene la velocidad de $v'$ a la "estacionario". Por lo tanto, en el marco de referencia a, B de velocidad de la se $(v'-v)$, sólo $v_r$, lo que denota B "velocidad relativa" a la A.
Por lo tanto tenemos:
$$v_r=v'-v$$
Plaza de los dos lados,
$$|v_r|^2=|v'|^2+|v|^2-2v'\centerdot v$$
Ahora que queremos obtener el "valor medio" de $v_r$ de un inmenso grupo de "molécula de la B"s en un sentido estadístico,por lo que mi profesor intentado averiguar el "valor medio" de ambos lados:
$$\langle |v_r|^2\rangle =\langle |v'|^2\rangle +\langle |v|^2\rangle -2\langle v'\centerdot v\rangle $$
Es normal ver (aunque puede haber una falta de rigor) que, estadísticamente
$$\langle v'\centerdot v\rangle =0$$
y que
$$\langle |v'|^2\rangle =\langle |v|^2\rangle $$
Por lo tanto
$$\langle |v_r|^2\rangle =2\langle |v|^2\rangle $$
Aquí viene la parte clave.A partir de la ecuación anterior mi profesor concluyó que
$$\langle |v_r|\rangle =\sqrt2\langle |v|\rangle $$
Sin embargo, no creo que esto plausible paso retiene el agua. Porque yo creo que para una variable estadística $x$, $\langle x\rangle ^2$ y $\langle x^2\rangle $ no son necesariamente iguales. (sobre todo cuando más tarde aprendí algo acerca de Maxwell distribución de la velocidad y se encontró que para las moléculas de gas la velocidad media $|v|$ es en realidad inferior a la media de la raíz cuadrada de la velocidad de $\sqrt{\langle |v|^2\rangle }$.)
Así que creo que, en lugar de obtener el resultado que queremos, el último paso en realidad da
$$\sqrt{\langle |v_r|^2\rangle }=\sqrt{2}\sqrt{\langle |v|^2\rangle }$$
Este problema ha estado molestandome durante varias semanas y quiero que se explica completamente, en una explícita y rigor. Creo que sólo mediante el conocimiento de la probabilidad puede matemática-explicación convincente lograrse. Desgraciadamente no he aprendido mucho acerca de la probabilidad y sabe muy poco sobre las teorías. Podría alguien ayudarme acerca de esto? Merci.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
A mí me parece que usted puede utilizar para su gas de la de Maxwell-Boltzmann de la distribución de velocidades. Si mi suposición es correcta, entonces las cosas son como sigue:
Permítanme indicar esta distribución por $B(v^2)$, ya que depende, de hecho en el cuadrado de la velocidad. Ya que sus moléculas son independientes, la distribución de describirlos es el producto de las dos distribuciones independientes
(1) $B(v^2, v'^2) = B(v^2) B(v'^2)$.
Ahora, vamos a calcular el valor de la media de $v_r^2$ como se le solicita. Como usted dijo,
$<v_r^2> = \int d\vec v \int d\vec v' B(v^2, v'^2) (v^2 + v'^2 -2\vec v \vec v')$
Mediante la aplicación de (1)
$<v_r^2> = \int d\vec v \ B(v^2)v^2\int d\vec v' B(v'^2) + \int d\vec v \ B(v^2)\int d\vec v' B(v'^2) v'^2 + \int d\vec v \ B(v^2) \vec v \int d\vec v' \ B(v'^2) \vec v'$.
Dado que las distribuciones B se normalizan tenemos
$<v_r^2> = \int d\vec v \ B(v^2)v^2 + \int d\vec v' B(v'^2) v'^2 + \int d\vec v \ B(v^2) \vec v \int d\vec v' \ B(v'^2) \vec v'$.
Ahora, vamos a concentrarnos en el último término. Dado que el integrando bajo la integral sobre la $\vec v$ es antisymmetrical, esta integral es cero. La misma con la integral sobre la $\vec v'$. Por lo tanto seguimos con
$<v_r^2> = \int d\vec v \ B(v^2)v^2 + \int d\vec v' B(v'^2) v'^2 = <v^2> + <v'^2> = 2<v^2>$,
ya que es irrelevante si el nombre de la integración de la variable $v$ o $v'$.
Por lo tanto, de hecho, $\sqrt {<v_r^2>} = \sqrt {2 <v^2>}$
Acerca de derivados $<v_r>$ el cálculo es más complicado porque
$|\vec v_r| = \sqrt {(v^2 + v'^2 - 2\vec v \vec v')}$.
Tienes razón, en realidad$\frac{\langle v^2 \rangle}{\langle v \rangle^2}=8\pi/3$. Por lo que el profesor escribía usted no necesita asumir que $\langle v^2 \rangle=\langle v \rangle^2 $, pero sólo eso $\frac{\langle v^2 \rangle}{\langle v \rangle^2}=\frac{\langle v_r^2 \rangle}{\langle v_r \rangle^2}=C $, $C$ arbitrarias.
Incluso si esta suposición puede parecer más plausible, es todavía injustificada, así que esto no es todavía una rigurosa demostración. La manera correcta de hacerlo es utilizar la velocidad de distribución y se calcula mediante la fuerza bruta. He intentado un par de veces, pero terminó con una terrible integrales. No estoy seguro ahora, ¿cómo sencillo que es hacerlo. Así que no se desanime si usted intentar y fallar.
Mi cálculo a continuación se dedica a comprobar si la relación
(1) $⟨|\vec v_r|⟩= \sqrt {2}⟨|\vec v|⟩$
escrito por el profesor, puede ser cierto. El cálculo es un poco aburrido - me arrepiento, y el resultado no confirma la relación (1).
Así que, yo de inicio de la relación
$|\vec v_r| = \sqrt {v^2 + v'^2 - 2\vec v \vec v'}$.
Ahora, vamos a escribir $\vec v \vec v'$ en la forma $v v'cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores de velocidad. Recuerda que el elemento de volumen en coordenadas esféricas en la velocidad, el espacio es $dV = d\vec v = v^2 dv \ sin(\theta)d\theta \ d\phi$, vamos a tratar de resolver la integral
$<|\vec v_r|> = \int d\vec v \ B(v^2) \ \int v'^2 dv' B(v'^2)\ sin(\theta)d\theta \ d\phi \ \sqrt {v^2 + v'^2 - 2v v'cos(\theta)}$,
donde la segunda integral es sobre v de 0 a $\infty$, $\theta$ de 0 a $\pi$ $\phi$ de 0 a $2\pi$. No se ven bien, pero vemos que el integrando no depende de $\phi$, s.t. podemos integrar sobre él
$<|\vec v_r|> = 2\pi \int d\vec v \ B(v^2) \ \int v'^2 dv' B(v'^2)\ sin(\theta)d\theta \ \sqrt {v^2 + v'^2 - 2v v'cos(\theta)}$.
También podemos integrar sobre $\theta$ desde $-sin(\theta)$ es el derivado de la $cos(\theta)$.
$<|\vec v_r|> = -\frac {2\pi}{3} \int \frac {d\vec v}{v} B(v^2) \ \int v'dv'B(v'^2)\ [v^2 + v'^2 - 2v v'cos(\theta)]^{3/2}|_{\theta = 0}^{\theta = \pi}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {2\pi}{3} \int \frac {d\vec v}{v}B(v^2) \ \int v'dv'B(v'^2)[v^2 + v'^2 + 2v v']^{3/2} - [v^2 + v'^2 - 2v v']^{3/2}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {2\pi}{3} \int \frac {d\vec v}{v}B(v^2) \ \int v'dv'B(v'^2)[(v + v')^3 - |v - v'|^3]$
Sólo por el bien de la simetría entre las $\vec v$$\vec v'$, vamos a notar que ninguna dependencia se mantuvo aquí en los ángulos $\theta$$\phi$. Si es así, vamos a múltiples y dividir la integral sobre la $v'$$2\pi v'^2$. Tenemos,
$<|\vec v_r|> = \frac {1}{3} \int \frac {d\vec v}{v}B(v^2) \ \int \frac {d\vec v'}{v'} B(v'^2)(v + v')^3$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac {1}{3} \int \frac {d\vec v}{v}B(v^2) \ \int \frac {d\vec v'}{v'} B(v'^2)|v - v'|^3$
A partir de ahora, el cálculo es simple pero feo. Debido a que el valor absoluto, vamos a tener que dividir el 2º integral en dos partes: de 0 a $v$, y de v a $\infty$. Me limitaré a poner en un poco más sencillo formulario
$<|\vec v_r|> = \frac {1}{3} \int \frac {d\vec v}{v} B(v^2) \int_0^v d\vec v'B(v'^2)(3v^2 + v'^2) + \frac {1}{3} \int d\vec v \ B(v^2) \int_v^{\infty} \frac {d\vec v'}{v'} B(v'^2)(3v'^2+v^2)$.
