Cuál de los números es mayor: $7^{94}$ o $9^{91} $?

Question

En este problema, supongo que b es mayor, pero no saben cómo demostrarlo sin ir a largos cálculos. Es muy apreciado si alguien me puede dar una ayuda.

Qué número es más grande

$$\begin{align} &\textrm{(a)}\quad 7^{94} &\quad\textrm{(b)}\quad 9^{91} \end{align}$$

Answer 1

La primera es $7^{91}\times 343$. El segundo es $7^{91}\times(9/7)^{91}$. Desde $\frac{9^3}{7^3}\gt 2$, se deduce que el $(9/7)^{91}$ es mucho, mucho más grande que la de $343$.

Answer 2

$$7^{94} = 7^{10} 49 ^{42} < 7^{10} 54 ^{42} = 7^{10} 8^{14} 9^{63} < 9^{10} 9^{14} 9^{63} = 9^{87} < 9^{91} $$

Answer 3

$Log(9^{91})=91\cdot Log(9)=86.836068359$

$Log(7^{94})=94\cdot Log(7)=79.4392157613$.

Por lo tanto $ 9^{91}$ es mayor.

Answer 4

André ya en el clavo, pero he aquí otra manera. Las siguientes desigualdades son equivalentes:\begin{align}7^{94} &< (7+2)^{94-3} \\ 9^3&<(1+2/7)^{94} \\ 3\log3&<47\log(1+2/7),\end{align} y por el de Maclaurin de expansión de $\log(1+x)$, éste sigue de \begin{align}3\log3&<94\left(\frac17-\frac1{49}\right) \\ \log3<3&<2\cdot\frac{94}{49}.\end{align}

Answer 5

$9^{91} \div 7^{94} = (\frac97)^{94} \div 9^3 > (1+\frac27)^{7 \times 13} \div 3^6 > (1+2)^{13} \div 3^6 = 3^7$ , que es mucho mayor a la de $1$.