Aceleración de la partícula "retenida" en $x = 1$

Question

Las componentes métricas en un espaciotiempo bidimensional están dadas en términos de las coordenadas $(t, x)$ por $$ds^2 = -\cosh x\,dt^2 + dx^2.$$ Consideremos una partícula que se "mantiene en posición" en $x = 1$ . ¿Cuál es la aceleración de esta partícula, es decir, si la partícula tiene masa unitaria, cuánta fuerza debe ejercerse para mantenerla en su sitio?

Answer 1

Parametriza la línea del mundo de la partícula con respecto a la línea del mundo. $t$ : $$~x^\mu (t) = (t,1)$$

Su cuatro-velocidad es: $$u^\mu =\frac{d x^\mu}{d \tau}$$

Para evaluar esto utilizamos el hecho de que:

$$d \tau^2 = coshx~dt^2-dx^2$$

Utilice también $x=1$ y $dx=0$ :

$$d \tau^2 = cosh(1) dt^2$$

Por lo tanto:

$$u^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau} = \frac{d t}{d \tau} \frac{d x^\mu}{d t} = \frac{1}{\sqrt{cosh(1)}} (1,0)$$

Su cuatro aceleración viene dada por:

$$a^\mu = \frac{du^\mu}{d \tau}+ \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^\alpha u^\beta$$

El primer término que podemos ver inmediatamente es cero. Como el componente x de la velocidad es cero, también podemos descartar varios términos de Christoffel, de modo que nos queda:

$$a^\mu = \Gamma^{\mu}_{00} u^0 u^0$$

Si calculas los símbolos de Christoffel (te lo dejo a ti) para obtener una expresión para $a^\mu$ , se puede encontrar la aceleración propia que experimenta la partícula tomando la magnitud de la cuádruple aceleración:

$$|a| = \sqrt{g_{\mu \nu} a^\mu a^\nu}$$