¿Cómo puedo demostrar que $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}$ es algebraico?

Question

Mostrar que $$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}$$ es algebraico.

Más específicamente, para solucionar esto y obtener valores exactos.

A continuación, utilice el resultado para evaluar $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F_{2^n}}$$ where $$F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$$ and $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ and $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Answer 1

Sugerencia: expanda cada plazo como una potencia de la serie en $z$, y el aviso de que el doble de la suma se puede escribir como una suma única.

Answer 2

Robert significa esto... $$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}} &= \sum_{n=1}^\infty z^{2^n}\sum_{k=0}^\infty z^{k2^{n+1}} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=0}^\infty z^{2^n+k2^{n+1}} \\&= \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=0}^\infty z^{2^n(1+2k)} = \sum_{m=1}^\infty z^{2m} = \frac{z^2}{1-z^2} \end{align}$$ Puede usted averiguar la razón para salir de la "suma doble" en $n,k$ a la "suma" en $m$?

Answer 3

De hecho, hay una buena forma cerrada para los parciales de sumas de dinero que usted puede encontrar mediante el cálculo de un poco:

$$ \begin{align*} f(z) &= \frac{z^2}{1-z^4} + \frac{z^4}{1-z^8} + \frac{z^8}{1-z^{16}} + \dots \\ &= \frac{z^2(1+z^4)+z^4}{1-z^8} + \frac{z^8}{1-z^{16}} +\dots \\ &= \frac{z^2 + z^4 + z^6}{1-z^8} + \frac{z^8}{1-z^{16}} +\dots \\ &= \frac{(z^2 + z^4 + z^6)(1+z^8)+z^8}{1-z^{16}}+ \dots \\ &= \frac{z^2+z^4 + z^6+z^8+z^{10} + z^{12}+z^{14}}{1-z^{16}}+\dots \end{align*} $$

Así que el primer par de sumas parciales están dadas por

$$\begin{align*} f_1(z)&= \frac{z^2}{1-z^4} = \frac{z^2-z^4}{1-z^2}\frac1{1-z^4} \\ f_2(z) &= \frac{z^2+z^4+z^6}{1-z^8} = \frac{z^2-z^8}{1-z^2}\cdot \frac1{1-z^8} \\ f_3(z) &= \dots = \frac{z^2-z^{16}}{1-z^2}\cdot \frac1{1-z^{16}}\end{align*} $$

A continuación, debería ser fácil demostrar por inducción que $$ f_n(z) = \frac{z^2}{1-z^2}\cdot \frac{1-z^{2^{n-1}}}{1-z^{2^n}}. $$ El segundo factor es$1 + O(z^{2^{n-1}})\to 1$$n\to\infty$. por lo tanto $$\boxed{f(z) = \displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n(z) = \frac{z^2}{1-z^2}}$$

Por desgracia, yo no puedo conseguir que WolframAlpha para encontrar posibles errores, así que espero que alguien más lo hará.