Para $s\leq 8$, si tenemos la voladura $\mathbb{P}^2$ $s$ puntos generales, tenemos una Del Pezzo de la superficie. Me pregunto ¿qué pasa si $s\geq 9$? ¿Cómo funciona este 8 se calcula?
Respuesta
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El canónica de la clase de los blow-up en cuestión es $K_X = -3h + \sum_{i=1} e_i$ donde $e_i$ son excepcionales curvas. En particular, esto da $(-K_X)^2 = 9 -k$. Si $k \geq 9$, esto es menos que o igual a $0$. Pero un amplio divisor debe tener una auto-intersección! Así que no hay manera de que sea del Pezzo.
Tenga en cuenta que una auto-intersección no implica amplitud; usted tiene que comprobar que funciona para los más pequeños de los casos. Para $1 \leq s \leq 6$ en realidad $-K_X$ es muy amplio, mientras que para $s = 7,8$ si la memoria sirve consigue $-K_X$ no muy amplio, pero $-2K_X$ es. Al menos la primera de estas es demostrado en Hartshorne, en el capítulo sobre el cúbicos de superficie (V. 4 tal vez? Me temo que no tengo el libro delante de mí)
El caso de $k \geq 9$ puntos muy interesantes de la geometría, y algunos bastante básico en busca de las conjeturas (la más famosa de Nagata de la conjetura) todavía están abiertos. Un lugar para leer un poco acerca de esto está aquí: http://www.uni-due.de/~mat903/memorias/nagata1.pdf
