V.I. Arnold dice los estudiantes rusos pueden ' t resolver este problema, pero los estudiantes americanos pueden--¿por qué?

Question

En un libro de problemas de palabras de V. me Arnold, aparecerá el siguiente mensaje:

6. La hipotenusa de un ángulo de un triángulo (en un estándar de examen Americano) es de 10 pulgadas, la altura se dejó caer en ella es de 6 pulgadas. Hallar el área del triángulo.

Americana de los estudiantes de la escuela había estado lidiando con éxito con este problema durante más de una década. Pero, a continuación, ruso estudiantes de la escuela de llegar de Moscú, y ninguno de ellos fue capaz de resolver como tenía a sus pares Estadounidenses (dando 30 pulgadas cuadradas como la respuesta). Por qué?

Aquí's el libro. Supongo que la respuesta es alguna broma a expensas de los Americanos, pero no lo entiendo. Posiblemente una broma acerca de pulgadas? Nadie?

Answer 1

Hay no hay tal triángulo derecho. La altura máxima posible es la mitad de la hipotenusa (inscribir el triángulo en un círculo para ver esto), que aquí es de $5$ pulgadas. Sólo tienes $30$ pulgadas cuadradas si ha intentado calcular el área sin comprobar si realmente existe el triángulo.

Answer 2

Hay muchas maneras de probar que el triángulo no existe. Estoy utilizando un enfoque diferente.

Supongamos que dicho ángulo recto del triángulo puede ser formado. Entonces, estamos interesados en donde se debe al pie de dicha altitud (CD)? [Es decir, ¿hasta qué punto es D (AB) de Una (o de B)?]

Suponemos que D es $\alpha$ y $\beta$ unidades de a y B respectivamente.

Claramente, tenemos $\alpha + \beta = 10$ ...... (1)

También, por un hecho en ángulo recto, triángulos, tenemos $\alpha \beta= 6^2$ ......... (2)

EDITAR el hecho de Que "el Poder de un punto".

A encontrar $\alpha$ y $\beta$ es equivalente a resolver la ecuación cuadrática $x^2 – 10x + 36 = 0$.

Considerando el discriminante, podemos decir que tales raíces ($\alpha$ y $\beta$) no son reales.

Answer 3

La línea roja representa todas las posibles tercer vértices de triángulos con base 10 y la altura de la 6;

La curva azul representa todas las posibles tercer vértices de los triángulos rectángulos con hipotenusa 10.

Los dos conjuntos han null intersección.

(de hecho, el máximo posible tercer ángulo de 6 unidades de distancia es de $\arccos(\frac{11}{61})\aprox 79.6$ grados)

(y sí, técnicamente no debe incluir los puntos correspondientes a continuación el segmento así)

Answer 4

Por error, uno puede fácilmente calcular el área del triángulo rectángulo dado como $\frac{1}{2}(10)(6)=30$ pero esto es incorrecto. Por qué? Tal vez, esta es la intuición detrás de la pregunta que uno debe primero comprobar la existencia de un triángulo rectángulo con los datos antes de calcular el área.

Un triángulo rectángulo con hipotenusa $10$ y una altitud de $6$ atraído a ella no existe debido a la duración máxima de altitud dibujado a la hipotenusa es de $5$ es decir, la mitad de la longitud de la hipotenusa. Aquí está una analítica de prueba para comprobar la existencia de un triángulo rectángulo.

Declaración: La longitud máxima de altitud, elaborado a partir de la derecha en ángulo de vértice a la hipotenusa de longitud $$ en un triángulo rectángulo, es de $/2$ es decir, la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Prueba: Deja que $x$ y $y$ ser las piernas (de longitud variable) de la derecha triángulo que tiene hipotenusa $$ (valor conocido), entonces usando el teorema de Pitágoras, uno debe tener $$x^2+y^2=10^2$$ $$y^2=a^2-x^2\tag 1$$ Ahora, la longitud de altitud decir $p$ dibujado a la hipotenusa en un triángulo rectángulo es en $$=\color{blue}{\frac{(\text{pierna}_1)\times (\text{pierna}_2)}{(\text{hipotenusa})}}=\frac{xy}{a}$$ $$\implica p=\frac{xy}{a}$$$$\iff^2p^2=x^2y^2\tag 2$$ deje que $a^2^2=P$ (alguna otra variable ), ahora la creación de valor de $y^2$ de (1), $$P=x^2(a^2-x^2)=a^2x^2-x^4$$ $$\frac{dP}{dx}=2a^2x-4x^3$$ $$\frac{d^2}{dx^2}=2a^2-12x^2\etiqueta 3$$ Para máximos o mínimos, $\frac{dP}{dx}=0$, $$2a^2x-4x^3=0\implica x=0,\frac{a}{\sqrt 2}, -\frac{a}{\sqrt 2}$$, Pero $x>0$, por lo tanto $x=\frac{a}{\sqrt 2}$. Ahora, la configuración de este valor de $x$ en (3), $$\frac{d^2}{dx^2}=2a^2 a 12\left(\frac{a}{\sqrt 2}\right)^2=-4a^2<0$$ por lo tanto, $P$ es decir, $a^2^2$ es máximo en $x=\frac{a}{\sqrt 2}$, por tanto, de (1), el valor correspondiente de $$ y, $$ $ y=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt 2}$$

por lo tanto, la duración máxima de altitud dibujado (de derecha en ángulo de vértice ) a la hipotenusa, $$\color{red}{p}=\frac{xy}{a}=\frac{\frac{a}{\sqrt 2}\frac{a}{\sqrt 2}}{a}=\color{red}{\frac{a}{2}}$$ Así que si la longitud de altitud $p$ es mayor que $\frac{a}{2}$ (la mitad de la longitud de la hipotenusa), entonces dicho triángulo derecho no existe.

Answer 5

Interesante - me había olvidado de lo que es un altitud. Wikipedia dice:

En geometría, una altura de un triángulo es un segmento de línea a través de un vértice y perpendicular (es decir, formando un ángulo recto con) una línea que contiene la base (el lado opuesto del triángulo). Esta línea que contiene el lado opuesto se llama la base ampliada de la altitud.

Quien dijo que la hipotenusa era la base? ¿Por qué no puede la altitud sea igual a uno de los lados del triángulo?

Este es un 3-4-5 ángulo recto del triángulo. O, para ser más precisos: un 6-8-10 triángulo. Hipotenusa es 10 pulgadas, "altitud" (o altura) es de 6 pulgadas, por lo que la base es de 8 pulgadas.

La zona es: 1/2 * (6) * (8) = 24 pulgadas cuadradas.

Si usted insiste en la definición de altura como la distancia desde la derecha ángulo de vértice a la hipotenusa, se obtiene los problemas que otros han discutido ya.

Edit: Una altitud está en ángulo recto a un lado, y conecta un lado a un vértice. En este caso se tiene (no especificado) de base, a una altitud de 6 pulgadas, y una de 10 pulgadas de la hipotenusa.

Si la base es horizontal, y la altitud de "gotas" de la final, haciendo un ángulo recto, entonces los contactos de la hipotenusa de línea al final. El ángulo recto se requiere de una altitud se forman en la base final, no la hipotenusa final.