Números irracionales : Mostrar que $0.1248163264...$ es irracional

Question

Yo estaba trabajando a través de algunos conceptos básicos de la Teoría de los números Problemas en Rosen y encontré con el siguiente problema :

Muestran que el número real $0.1248163264...$ representado en base 10 es irrational number

Tengo un poco perplejo. Alguien me puede ayudar? Una sugerencia sería genial.

Answer 1

SUGERENCIA: espero que usted sabe que un número es racional si y sólo si su expansión decimal es el tiempo de periódico. Supongamos que la expansión eventualmente se repite con período de $p$.

• Muestran que hay dos consecutivos poderes de $2$ cuya después de la inicial aperiódica segmento cuya longitud (cuando se escriben en la forma usual en base diez) son el mismo múltiplo de $p$.

Me he dejado a un mayor sugerencia en el spoiler bloque protegido a continuación; el ratón por encima para ver.

Muestran que, por un lado, estos dos poderes de $2$ debe terminar en el mismo dígito, y por otro lado que no puede terminar en el mismo dígito.

Answer 2

Un número es racional si y sólo si tiene una eventual repetición de expansión decimal.

Así que usted debe mostrar que esta expansión decimal no tiene una eventual repetición de expansión.

Answer 3

A partir del primer dígito después del punto decimal, el dígito que se multiplica por dos cada vez, sin detenerse, ampliando el número de dígitos pasando sin un final. Esto no tiene repetición, demostrando que es irracional.