Órdenes de movimientos en el cubo de Rubik

Question

Jugando con mi cubo de Rubik, estuve pensando en hechos sobre él que son inmediatos para los matemáticos pero novedosos para los demás. Aquí hay uno:

Dado un cubo de Rubik en estado resuelto, cualquier secuencia de movimientos, si se repite lo suficiente, acabará devolviendo el cubo al estado resuelto

Para un matemático, eso se deduce de "Los movimientos de un cubo de Rubik forman un grupo finito. Por lo tanto, todos los elementos tienen un orden finito".

Cada movimiento atómico del cubo de Rubik tiene orden 4. El movimiento compuesto más sencillo es R U (girar la cara derecha 90° en el sentido de las agujas del reloj, luego girar la cara superior 90° en el sentido de las agujas del reloj). ¿Cuál es el orden de R U?

En segundo lugar, ¿cuál es el mayor orden de un elemento en el grupo del cubo de Rubik?

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Intenté repetir R U durante mucho tiempo. Perdí la cuenta (~50 repeticiones), pero al final volvió a casa.

Answer 1

Tome un cubo resuelto y haga $RU$ ; luego traza la estructura de ciclo de la permutación que realiza.

La combinación mueve 5 cubos de esquina en un ciclo en el que un cubo se tuerce un tercio de vuelta cuando vuelve a su posición original, por lo que es un factor de 15.

También tuerce una esquina de la FRU un tercio de vuelta; de eso también se encarga el factor 15.

Luego permuta 7 aristas cíclicamente, pero esta vez cada arista tiene la orientación correcta cuando regresa.

Así que el orden es el mínimo común múltiplo de 7 y 15, es decir 105 .

(Para un subercubo necesitamos otro factor de 4 para devolver los centros a la orientación original).

Answer 2

Hace algún tiempo escribí mi tesis de licenciatura sobre el elemento de mayor orden:

http://www.math.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf

En realidad, se me ocurrió un nuevo teorema para el grupo simétrico generalizado que confina, como caso especial, los órdenes dentro del cubo de Rubik y el resultado es bastante interesante. El mayor orden es 1260.