El número de límite de puntos del conjunto $\left\{\frac1p+\frac1q:p,q \in \Bbb N\right\}$ es cuál de las siguientes:

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

El número de límite de puntos del conjunto $\left\{\frac1p+\frac1q:p,q \in \Bbb N\right\}$ es cuál de las siguientes:

1. $1$

2. $2$

3. Infinitamente muchos

4. Un número finito de

Si me tome $p$ a ser fijo (digamos=$k$) y deje $q \to \infty$, entonces el punto límite está dado por $\frac{1}{k}$. Desde $k$ es un número natural arbitrario, el número de límite de puntos es infinito. El mismo caso se puede continuar después de la toma de $q$ a ser fijo (digamos=$k_1$). Creo que la opción 3 es la elección correcta. Estoy en el camino correcto? Alguien puede dar más explicación?

Answer 1

Su respuesta es correcta. Usted ha demostrado que hay infinitamente muchas límite de puntos, que es información suficiente para responder a la pregunta de opción múltiple.

Se puede demostrar que el conjunto de límite de puntos de este conjunto es de $\{0\}\cup\{1/k:k\in\mathbb N\}$. Desde $\frac{1}{k} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k}$, lo que significa que $0$ es el único punto límite que no está en el conjunto original.

Answer 2

Creo que la respuesta es $\{0\}$ debido a que el límite de puntos significa nbd de intervalo abierto contener al menos uno de los otros puntos de punto. Deje $k=1,2,3,...$ $\frac{1}{k} = 1,1/2,1/3...$ el nbd de $\{0\}$contenida en un intervalo abierto distinta de $\{0\}$. Así, el punto límite de $\frac{1}{k}$$\{0\}$.