Cómo calcular el $ \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3k+1}-\frac{\ln n}{3}\right)$

Question

Cuando me enteré de serie armónica. Conocí a este límite.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3k+1}-\frac{\ln n}{3}\right)=\frac{\gamma}{3}+\frac{\sqrt3\pi}{18}+\frac{\ln3}{2}$

$\gamma$ es EulerGamma.

Pero no sé cómo demostrarlo.Y, naturalmente, yo tengo:

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{pk+1}-\frac{\ln n}{p}\right)\qquad p\in N$

Podría alguien ayudarme a resolver los dos límites?

Answer 1

Echamos un vistazo más de cerca a la expresión: $$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3k+1}-\frac{\ln(n)}{3}\approx\frac13\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+\frac13}-H_{n+1}\right)+\frac13\left(H_{n+1}-\ln(n)\right)\approx\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k+\frac13}-\frac{1}{k+1}\right)+\frac\gamma 3 $$ Ahora tenemos la función digamma: $$ \psi(x)=-\gamma+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+x} $$ Así que el límite se evalúa en: $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k+\frac13}-\frac{1}{k+1}\right)+\frac\gamma 3=-\psi(\frac{1}{3})-\frac{2}{3}\gamma $$ Para$\psi(\frac{1}{3})$$\psi(1-x)-\psi(x)=\pi\cot(\pi x)$$\psi(x)+\psi(x+\frac13)+\psi(x+\frac23)=3\psi(3x)-3\ln(3)$, lo que puede ser probado por tomar la derivada de la reflexión y de la multiplicación de la fórmula de la función gamma. En $x=\frac13$ estos dos dan con $\psi(1)=-\gamma$$\cot(\frac\pi 3)=\frac{1}{\sqrt 3}$: $$ \psi(\frac13)+\psi(\frac23)-\gamma=-3\gamma-3\ln(3)\\ \psi(\frac23)-\psi(\frac13)=\frac{\pi}{\sqrt 3} $$ Combinado, esto produce: $$ \psi(\frac13)=-\gamma\frac{3\ln(3)}{2}-\frac\pi{2\sqrt3} $$ Y el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

En primer lugar, se utiliza la definición de Euler-Mascheroni número

$$\gamma =\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\log n\right) \tag 1$$

A continuación, vamos a escribir la suma de los intereses, como

$$\begin{align} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{pk+1}&=1+\frac1p \left(\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1/p}-\frac1k\right)+\sum_{k=1}^n\frac1k \right)\\\\ &=1+\frac1p \sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1/p}-\frac1k\right)+\frac1p\left(\sum_{k=1}^n\frac1k -\log n\right)+\frac1p\log n\\\\ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{pk+1}-\frac1p\log n&=1+\frac1p \sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1/p}-\frac1k\right)+\frac1p\left(\sum_{k=1}^n\frac1k -\log n\right)\\\\ &=1+\frac1p \sum_{k=1}^n\left(\int_0^1x^{k+1/p-1}\,dx-\int_0^1x^{k-1}\,dx\right)\\\\ &+\frac1p\left(\sum_{k=1}^n\frac1k -\log n\right)\\\\ &=1+\frac1p \left(\int_0^1\frac{x^{1/p}-1}{1-x}\,dx\right)+\frac1p\left(\sum_{k=1}^n\frac1k -\log n\right) \tag 2\\\\ \end{align}$$

Para $p=3$, podemos evaluar la integral en $(2)$ en forma cerrada. De continuar, hemos de hacer cumplir la sustitución de $x\to x^3$. A continuación,

$$\begin{align} \int_0^1\frac{x^{1/3}-1}{1-x}\,dx&=3\int_0^1\frac{(x-1)x^2}{1-x^3}\,dx\\\\ &=-3\int_0^1\frac{x^2}{x^2+x+1}\,dx\\\\ &=-3+\frac{\pi\sqrt{3}}{6}+\frac32 \log 3 \tag 3 \end{align}$$

El uso de $(3)$ $(2)$ $p=3$ y tomando el límite cuando $n\to \infty$ rendimientos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3k+1}-\frac13\log n\right)=\frac 13\gamma +\frac{\pi\sqrt{3}}{18}+\frac12 \log 3}$$

como iba a ser mostrado.

Para los valores de $p\in N$ diferente de la $3$, uno todavía puede llevar a cabo la integral en $(2)$ y llegar al límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{pk+1}-\frac1p\log n\right)=\frac 1p\gamma +\int_0^1\frac{1-x^{p-1}}{1-x^p}\,dx} \tag 4$$

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NOTA:

El uso de Gauss, digamma teorema, podemos evaluar el lado derecho de la $(4)$ en forma cerrada. Obtenemos

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{pk+1}-\frac1p\log n\right)=\frac 1p\gamma +\frac1p\left(\log (2p)+\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi}{p}\right)-2\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{p-1}{2}\rfloor}\cos\left(\frac{2\pi k}{p}\right)\log\left(\sin\left(\frac{\pi k}{p}\right)\right)\right) \end{align}$$

Answer 3

Este es un trabajo para el la función digamma definido por

$$\psi(x) =-\gamma+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac1{n+1}-\frac1{n+x}\right) $$

(mire aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function )

user109899 ha manipulado la suma directamente y muy bien en el la función digamma $\psi(1/3)$.

$$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k+\frac13}-\frac{1}{k+1}\right) =-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+\frac13}\right) =-(\psi(1/3)+\gamma) $$ y, de acuerdo a la Artículo de la Wikipedia, $$\psi(1/3) =-\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac32 \ln 3 -\gamma. $$