Cuando se hace una medida de probabilidad tomar todos los valores de la unidad de intervalo?

Question

Deje $\mathbb{P}$ ser una medida de probabilidad en cierta probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal{A})$. Hay condiciones en el $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ tal que para cada número real $c\in [0,1]$ nos encontramos con un conjunto $A\in\mathcal{A}$$\mathbb{P}(A)=c$. Es como el teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Answer 1

Una condición necesaria y suficiente es que cada átomo no es más grande que la suma de todos los átomos más pequeños, además de la no-atómico parte.

Answer 2

Esta es una propiedad de $\mu$, no el de $\mathcal A$, y es la de ser atomless. Es equivalente a no tener conjuntos de $A \in \mathcal A$ de medida positiva tal que para todo $B \in \mathcal A$, $B \subseteq A$ la medida de $\mu(B)$ es de 0 o $\mu(A)$.

edit: artículo de la Wikipedia, que se completa con la prueba de la propiedad que se describe a partir de atomlessness.

edit: sí, los comentarios son razón y yo estoy equivocado. La condición precisa para finitos medidas compuesto en su totalidad de los átomos a tiene rango completo es $a_n \leq \sum_{j>n} a_j$ - es claramente necesario como $a_n-\varepsilon$ tiene que ser producido de alguna manera, y el algoritmo voraz muestra suficiencia.

Answer 3

He aquí un ejemplo concreto de una atomless medida. Deje $f \in L^1$ ser una función integrable con la masa total 1 (es decir,$\int_0^1 f = 1$). Definir $$\mathbb P(A) = \int_A f(x) ~dx$$ for any Borel set $Un$. It is a nice exercise to show that $\mathbb P$ es un atomless medida.

Nota: $f$ se llama el Radon-Nikodym derivado de la $\mathbb P$ con respecto a la medida de Lebesgue, y a menudo por escrito $f = \tfrac{d\mathbb P}{dx}$. Si una variable aleatoria $X$$\mathbb P$, $f$ se llama función de densidad.

Answer 4

Una medida de espacio $(\mathbb{P},\Omega,\mathcal{A})$ es atomless si para todas las $A\in\mathcal{A}$ $\mathbb{P}(A)>0$ existe $B\subset A, B\in\mathcal{A}$ tal que $0<\mathbb{P}(B)<\mathbb{P}(A)$. Ahora de acuerdo con un teorema de Sierpinski, los valores de una atomless medir el espacio forma un intervalo. En particular, para la probabilidad de espacios, cada valor en $[0,1]$ se ha tomado. La fuente original del artículo se puede encontrar aquí (en francés). Una prueba en inglés, usted puede mirar en 215D en la página 46 en Fremlin el libro de Teoría de la Medida 2.