Primaria de la topología de ejemplos

Question

Estoy preparando (para enseñar) en mi primera clase de pregrado de la topología y estoy buscando algo de primaria, de la motivación de las aplicaciones de la topología para el primer día. Vamos a raíz de Munkres, comenzando con el punto-establecer la topología y, a continuación, terminando el semestre, con temas avanzados como el nudo de la teoría o de la topología algebraica. Los estudiantes no han tenido álgebra y este podría ser el primer curso que tome después de la introducción de la prueba.

Estoy buscando para el día a día los hechos que son fácilmente afirmó y demostró muy bien con la topología. Por ejemplo, yo puedo ilustrar Brouwer del teorema de punto fijo con un mapa de la escuela: Si la dejo el mapa en el suelo, hay algún punto en el mapa sobre el punto que representa. Si yo rip el mapa en pedazos, puedo poner el mapa partes de todo el campus, por lo que el mapa no se encuentra sobre el punto que representa.

La mayoría de las "aplicaciones" en el que puedo pensar / que son en la Vida Real de las Aplicaciones de la Topología son demasiado avanzados para una primera, introductoria día.

Answer 1

Algunos de mis favoritos de los resultados de la topología son:

• El Borsuk-Ulam Teorema: Dada una función continua $f:S^n\to\mathbb R^n$, existe un punto de $x$ tal que $f(x)=f(-x)$. Mi favorito resultado es que en algún lugar del planeta, hay antipodal puntos que tienen la misma temperatura y presión. Por esta razón, a veces es llamado el Meteorólogo del Teorema de al $n=2$.
• La Peluda Bola Teorema: existe una nonvanishing campo de vectores en $S^n$ si y sólo si $n$ es impar. Esto significa que en algún lugar de la tierra, el viento no sopla.
• El Sándwich de Jamón Teorema: Dado $n$ subconjuntos medibles $\{A_i\}$$\mathbb R^n$, existe un $n-1$ dimensiones subespacio afín de $\mathbb R^n$ que se divide en dos partes iguales cada una de las $A_i$. En el espíritu del nombre, esto significa que dado tres sándwiches de jamón de tamaño arbitrario y orientación, me puede cortar cada uno en la mitad con un solo golpe (suponiendo, claro, que tengo un gran cuchillo). Alternativamente, usted puede cortar una sola sándwich, de forma que ambas mitades tienen la mitad de la parte superior del bun, la mitad del jamón y la mitad de la parte inferior del pan.

Lo bueno de estos teoremas es que aparentemente no están relacionadas, pero son en realidad más inmediata de los resultados de la Brouwer Teorema de Punto Fijo. Creo que Munkres hace un buen trabajo de cubrir todos estos.

Answer 2

Recientemente me encontré con el Prof. Tokieda de la serie de conferencias sobre la Topología en el Instituto Africano de Ciencias Matemáticas y se encontró que las ponencias se muy bien como muy entretenido. La primera conferencia cubre un número de niza ejemplos de utilización de Möbius tiras.

Answer 3

Tal vez no el más elemental, pero en Hatcher Topología Algebraica de texto (libre disposición) en el primer capítulo, sobre el Grupo Fundamental hay una explicación de dos círculos entrelazados que le permite de forma intuitiva y visualmente explicar un grupo fundamental que es isomorfo al grupo aditivo de los enteros (infinito cíclico).

Aunque puede que no llegue a esa distancia en la clase, muestra cómo algo en la topología puede ser sólo un "geométrica traducción" de un concepto algebraico. Era algo que había leído antes de que yo estudié topología, que era muy interesante. A menudo es útil para que los estudiantes muestren ellos no lo van a aprender, pero lo que podía aprender.