Intuitiva explicación de div(curlF)=0

Question

Si tenemos en cuenta $\mathbf{F}$ como un campo vectorial, entonces decimos que la $\mathrm{div}(\mathrm{curl}(\mathbf{F}))=0$. Podemos probar esto en matemáticas fácilmente. Pero yo no estoy recibiendo una explicación intuitiva, debido a que es cero.

Alguien puede explicar de forma intuitiva por qué es cero?

Gracias

Answer 1

No puede ser la respuesta que estás esperando, pero intuitivamente se puede ver que si tiene un volumen en el espacio de 3 dimensiones, entonces usted puede hacer que el volumen del límite, el cual será cerrado 2-superficie. Cerrado 2-superficie tiene un vacío límite, ergo no hay curva que serviría como su límite.

A través del uso de la costumbre integral de teoremas en el 3-espacio, la identidad de $\mathrm{div}(\mathrm{curl}(\mathbf{X}))$ expresa esto.

Por Gauss teorema, para cualquier campo vectorial $\mathbf{X}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ $$ \int_V\mathrm{div}\mathbf{X}\ d^3x=\int_{\partial V}\langle \mathbf{X},d\mathbf{A}\rangle $$ and by Stokes' theorem $$ \int_{\Sigma}\langle\mathrm{curl}\mathbf{X},d\mathbf{A}\rangle=\int_{\partial\Sigma}\langle\mathbf{X},d\mathbf{s}\rangle, $$ where $V$ is a volume, $\Sigma$ is a surface, $\partial$ is boundary and $\langle,\rangle$ es el interior del producto.

Llegar juntos a estos dos, aplicamos Gauss teorema de a $\mathbf{Y}=\mathrm{curl}\mathbf{X}$, luego $$ \int_V\mathrm{div}\ \mathrm{curl}\mathbf{X}\ d^3x=\int_{\partial V}\langle\mathrm{curl}\mathbf{X},d\mathbf{A}\rangle=\int_{\partial\partial V}\langle\mathbf{X},d\mathbf{s}\rangle=0.$$ Since this is zero for all vector fields $\mathbf{X}$, due to the identity $\mathrm{div}\ \mathrm{curl}\mathbf{X}=0$, this must mean that the domain of integration $\partial\partial V$ siempre es de medida cero, lo que significa que el límite de una frontera está vacía.

Answer 2

Sugerencia: Compruebe la interpretación intuitiva de curl y, a continuación, que de divergencia y combinarlos para obtener la interpretación de $\text{div}(\vec{\text{curl}} \vec{F})$

Usted debe obtener algo a lo largo de las líneas de "el microscópico de la circulación de un campo vectorial sobre cada punto tiene ni lavabo ni una fuente."

Answer 3

Intuitivamente, la curvatura de ${\mathbf F}$ es un campo de vectores que apunta perpendicularmente al plano de la red de rotación de ${\mathbf F}$ en cada punto.

Echemos un vistazo a la analógica en $\Bbb R^2$. Si ${\mathbf F}=\langle P(x,y), Q(x,y) \rangle$, entonces, si pudiéramos definir el rizo, sería curl${\mathbf F}=(Q_x-P_y) \mathbf{k}$. Esto es perpendicular al vector campo ${\mathbf F}$ en todas partes y por lo que la red de los componentes de la curvatura de ${\mathbf F}$ $xy-$plano es cero. De ahí la divergencia de curl${\mathbf F}$ natural sería cero. No importa de qué región de $\Bbb R^2$ miramos, el flujo neto de curl${\mathbf F}$ fuera de la región es cero, ya curl${\mathbf F}$ sólo fluye de forma perpendicular al plano. Por supuesto, la curvatura no está definido formalmente en dos dimensiones. Usted puede pensar en el curl de un campo de vectores en dos dimensiones simplemente ser idéntica a cero en todas partes, ya que tendría que ser perpendicular al plano si se habían incrustado en un espacio tridimensional.

Ahora echemos un vistazo a $\Bbb R^3$. La interpretación de rizo aún se mantiene como es el campo de vectores que apunta perpendicularmente al plano de la red de rotación de $\mathbf F$ en cada punto. Sin embargo, no podemos mirar más de una cuarta dimensión para hacer un análogo argumento como hicimos para $\Bbb R^2$.

Pensar acerca del espacio discretizado en cubos pequeños. La red de divergencia para un pequeño cubo será la suma de las componentes ortogonales en cada cara. La componente ortogonal de curvatura en cada cara está dada por la red de rotación sobre el límite de la cara. Sin embargo, las caras adyacentes siempre comparten un borde, por lo que la red de rotación de la pieza para que el borde se cancela cuando la suma de las outflux para todos los de 6 caras. Por lo tanto tenemos cero de la divergencia para el cubo.

Intuitivamente, usted tendría que tener un campo de vectores que cambia la dirección del flujo extremadamente rápido con el fin de obtener su curl tiene un no-cero de la divergencia. Tendría que ser no-suave para que usted simplemente no puede tomar la divergencia de como no ser diferenciable -- la limitación del argumento que he utilizado anteriormente para cubos pequeños no tendría sentido si el límite no existe, es decir, el campo vectorial no es diferenciable.

Sé que esto es muy de la mano-ondulados, pero espero que tenga algún sentido.