Deje $B$ ser la unidad de la bola de $\ell^2(\mathbb{N})$, es decir, $B=\lbrace x\in \ell^2(\mathbb{N}): \|x\|\le 1\rbrace.$ Por cada $x=(x_1,x_2,\cdots)\in B$, vamos $$f(x)=(1-\|x\|,x_1,x_2,\cdots).$$ Define $T:B\to 2^B$ by $$T(x)=B(f(x),r(x))\cap B, \mbox{ where }r(x)=\frac{1}{2}(\|x-f(x)\|).$$ Es cierto que $$D(Tx,Ty)\le \|x-y\| \mbox{ for all }x,y\in B?$$ Aquí $B(y,r)$ denota la bola cerrada con radio de $r$ centrada en $y$, e $D$ es la métrica de Hausdorff definido por $$D(a,B)=\inf\lbrace r>0: N_r(A)\supset B, N_r(B)\supset Un\rbrace,$$ $N_r(S) =\lbrace x\in C: d(x,S)\lt r\rbrace$ siendo el $r$-barrio de $S$.
Respuesta
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Es incorrecto: Tome $x=0$$y=e_1=(1,0,0,\dots)$. A continuación,$f(x)=e_1$$f(y)=e_2=(0,1,0,\dots)$, lo $r(x) = 1/2$$r(y) = \sqrt2/2$. Ahora no es difícil ver que $p = (-\sqrt7/4,3/4,0,\dots)$ es el punto en $Ty = B(f(y),r(y))\cap B$ más alejados de $f(x)$. De esto se deduce que $$ D(Tx,Ty) = \sqrt{(1+\sqrt7/4)^2+(3/4)^2} - 1/2 = \sqrt{2+\sqrt7/2} - 1/2 > 1 = \|x-y\|. $$ (Como $Ty$ es el trozo grande, geométrico consideraciones muestran que la $Ty \subseteq N_r(Tx)$ implica $Tx \subseteq N_r(Ty)$, para todos los $r>0$.)
