Cálculo de dígitos decimales a mano para los números extremadamente grandes

Question

En el más reciente de Seton Hall Joseph W. Andrushkiw de la Competencia, la pregunta final fue el siguiente:

Let A $ = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2016}$. Cuando Una está escrito en decimal forma, ¿cuál es su $31^{st}$ dígitos después del punto decimal?

De fuerza bruta a través de wolfram alpha revela que la respuesta es [edit: he encontrado el 31 de serie desde el inicio, no el día 31 después del punto decimal] cero, sin embargo, esta competencia no permite el uso de una calculadora. A mí me parece que como los números irracionales están en la base de la exponente, no debe ser un patrón de identificación de los dígitos.

Buscar en este sitio, me ha hecho pensar que tal vez la respuesta tiene algo que ver con el phi de Euler de la función (algo que tengo que admitir delante nunca he sabido), pero no puedo encontrar nada que puedo comprender lo suficiente como para darme un modo concreto para empezar a acercarse a este. Cualquier ayuda en este problema frustrante sería apreciada. Gracias!

Answer 1

Hmm. Bastante seguro de que la respuesta es de $9 dólares. La observación clave para este problema es darse cuenta de que $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2016}+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2016}$ es un número entero.

La prueba de esto es la expansión utilizando el Teorema del Binomio. Los extraños poderes de las raíces cuadradas obtener cancelado.

Ahora tenemos $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2016} = N - (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2016}$, donde $N$ es un número entero positivo.

Ahora bien, esto es fácil. Desde $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2016} < (0.4)^{2016} = (0.064)^{\frac{2016}{3}} < (0.1)^{\frac{2016}{3}} < (0.1)^{600}$, tenemos $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2016}= (N-1)+0.99\cdots 99$, y hay por lo menos $500$ $9$'s allí. La respuesta es $\boxed{9}$.

Answer 2

Comparar $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^n$ y $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^n$
¿Puede mostrar que su suma es un número entero cuando $n$ es uniforme, y el segundo número es muy pequeño?