Flatlander en toro

Question

Suponga que usted es un $2$-dimensiones de estar viviendo en un ideal de toro hecho de un cilindro de radio $a$, se acurrucaba junto tales que encaja exactamente dentro de una esfera/círculo de radio $b$, es posible determinar que $a$ $b$ por caminar una longitud finita, si sólo se puede medir el local de la distancia que camina, pero se le permite identificar los lugares donde ha estado antes y la longitud que había caminado en este punto?

¿Cuál es la máxima longitud que usted necesita caminar para determinar el $a$ $b$ con estrategia óptima?

Answer 1

Asumir la flatlander se redujo en un punto de $p\in T$. Haciendo muy precisas las mediciones de longitud, él es capaz de determinar la curvatura Gaussiana $\kappa(p)$ $T$ $p$ (este es el Theorema Egregium), y haciendo la misma cosa para todos los puntos en un pequeño círculo de radio $\epsilon>0$ $p$ él será capaz de determinar la dirección de la línea de nivel de $\kappa$ a través de $p$. No hay una única geodésica $\gamma$ a través de $p$ que cruza esta línea de nivel ortogonalmente. Luego debe proceder a lo largo de $\gamma$ y hacer que la curvatura de las mediciones de forma continua hasta que él está de vuelta en $p$. Desde el mínimo y el máximo de la curvatura que él ha encontrado en marcha es fácil de calcular,$a$$b$. (El ${\rm min}$ e las ${\max}$ $\kappa$ se puede determinar aún si $\gamma$ es un poco "fuera de pista".)

Answer 2

Si el 2D cosa no puede distinguir entre las direcciones, se puede ir en una dirección y no regresar nunca a su punto de partida, no hay ninguna garantía de estrategia. Si se puede, a continuación, identificar a y b, se necesita de dos contol de ingeniería, por lo que debe ir una vez alrededor de la del cyclinder a encontrar, y una vez alrededor del bucle de radio b-a, y el inicio de la b-un radio de bucle es una distancia en la mayoría de las $\pi$desde su punto de partida.

Answer 3

No sé la estrategia óptima, pero aquí es una manera de hacerlo: de forma aleatoria a pie de la superficie hasta que se cruzan cualquiera de nuestras posiciones anteriores. Ahora tenemos una baldosa. Repita hasta que los azulejos de la complejidad de un topológico toro. Ahora si $a < b$ $a$ puede ser aproximada por una búsqueda en anchura, y $b$ puede ser aproximada por la misma búsqueda de exclusión de las fichas recorrido, mientras que la estimación de $a$. Continuar con la creación de baldosas a través de caminos aleatorios para obtener más precisión.