¿Es posible resolver 4 ángulos desconocidos en un cuadrilátero?

Question

Dado un cuadrilátero con 4 longitudes fijas, ¿hay alguna forma de resolver sus ángulos?

Por ejemplo, tengo un cuadrilátero con 4 lados:

1. 698.8m

2. 512.5m

3. 511.9m

4. 695.8m

¿Cómo resolvemos sus ángulos desconocidos?

Answer 1

Si se conectan cíclicamente cuatro varillas de una longitud determinada con rótulas, la estructura resultante no será rígida. Esto implica que las cuatro longitudes no determinan los ángulos entre las varillas sucesivas. En su lugar, se obtendrá $2$ ecuaciones para $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ y existe la condición extra $\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\pi$ . Así que hay un grado de libertad.

Las dos ecuaciones se obtienen calculando los cuadrados de la longitud $e^2$ y $f^2$ de las dos diagonales mediante el teorema del coseno de dos formas cada una, y luego olvidarse de $e$ y $f$ .

Editar. Cuando sólo se necesita una solución, podemos dar arbitrariamente a uno de los ángulos un valor razonable y luego calcular numéricamente los otros tres ángulos. Por ejemplo, dejemos que el ángulo $\alpha_{23}$ entre $a_2$ y $a_3$ sea $90^\circ$ . Entonces una diagonal $d$ se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras, y queda por determinar los ángulos de dos triángulos cuyos lados se conocen. Esto puede hacerse mediante la ley del coseno. Por ejemplo, el coseno del ángulo $\alpha_{41}$ viene dada por $$\cos\alpha_{41}={a_4^2+a_1^2-d^2\over 2 a_4 a_1}\ .$$

Answer 2

No hay manera de encontrar los ángulos sin una restricción adicional. Para ver esto, coloque una arista horizontalmente, y adjunte otras dos aristas a cada lado. Cada una de las dos aristas tiene un grado de libertad (el ángulo), pero la cuarta arista sólo tiene una restricción: la distancia entre los dos extremos.

Por lo tanto, tienes dos incógnitas y una sola ecuación, lo que significa no hay una solución única para los ángulos .

Para encontrar "una" solución, basta con elegir uno de los ángulos de forma arbitraria, para conocer la posición de tres puntos (digamos $A,B,C$ ) en el plano. Para encontrar el cuarto punto $D$ , tienes que resolver las ecuaciones:

$$L_1^2 = (C_x-D_x)^2 + (C_y-D_y)^2$$ $$L_2^2 = (B_x-D_x)^2 + (B_y-D_y)^2$$ En las incógnitas $D_x,D_y$ . Una vez encontradas las coordenadas, puedes utilizar el producto punto para encontrar el resto de los ángulos.

Answer 3

No creo que haya suficiente información a menos que se excluyan los ángulos reflejos. Por ejemplo, los lados de arriba podrían hacer algo parecido a una cometa o una punta de flecha.

Edición: Hay un número infinito de soluciones. Uniendo cuatro lápices / bolígrafos puedes hacer cualquier número de cometas, desde las largas y delgadas hasta las casi rectangulares. Es decir, lo que dijeron nbubis y Christian Blatter.

Answer 4

Hay una forma sistemática de encontrar todos esos cuadriláteros utilizando el álgebra (como se menciona en las respuestas, la solución no es única). Es más fácil trabajar simbólicamente; suponemos que nos dan $a$ , $b$ , $c$ y $d$ y están buscando un cuadrilátero $ABCD$ para que las longitudes de los lados sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ empezando por $|AB|=a$ y continuando cíclicamente. Además, hay una única $p$ , $q$ , $p_1$ y $q_1$ para que el cuadrilátero sea congruente con el que tiene $A=(0,0)$ , $B=(a,0)$ , $C=(p,q)$ y $D=(p_1,q_1)$ ---traducimos $A$ al origen y luego rotar a la posición $B$ en el eje real positivo. Utilizamos Mathematica para resolver $$b^2=(p-a)^2+q^2,\quad c^2=(p_1-p)^2+(q_1-q)^2,\quad d^2=p_1^2+q_1^2.$$ Mathematica puede tratar esta ecuación y produce una familia de soluciones que dependen de un parámetro. Para datos concretos como los de la pregunta sólo hay que sustituir estos valores en la ecuación y resolver de nuevo. El resultado es demasiado complicado para reproducirlo aquí, pero puede calcularse con Mathematica o Wolfram Alpha en unos minutos.

Como ya se ha dicho, se necesita un dato adicional para determinar el cuadrilátero, por ejemplo un ángulo o una diagonal: se deducen fácilmente de las construcciones habituales de triángulos. Lo más interesante es que, si se conoce el área, se obtienen dos soluciones, que a veces se unen en una sola. (Hay restricciones en los datos, por supuesto, que se requieren para que exista cualquier solución, como en el caso de muchas construcciones de triángulos). Esto se puede ver añadiendo la cuarta ecuación $$2 F=p_1 q_1 + (a-p)q + (p-p_1)(q+q_1) $$ donde $F$ es el área. La forma de la solución muestra que los cuadriláteros resultantes pueden construirse con regla y compás. Estamos utilizando áreas con signo, lo que permite que haya cuadriláteros no convexos como solución en algunos casos.