Si $xy$ y $x+y$ son ambos enteros pares (con $x,y$ enteros), entonces $x$ y $y$ son ambos enteros pares

Question

El enunciado del título puede demostrarse mediante el contrapositivo, nótese que $x$ impar o $y$ impar significa que al menos uno de $x\cdot y,x+y$ es impar. ¿Hay alguna forma de probar la afirmación directamente?

Para generalizar esta afirmación (en dos variables enteras), demuestre que para cada entero libre cuadrado $n$ existe una función $f:\mathbb Z^2\to\mathbb Z$ donde

$$f(x,y)\equiv 0\pmod n\iff x\equiv y\equiv 0\pmod n$$

Esta generalización se formaliza en esta pregunta: Si $n$ es libre de cuadrados, $k\ge 2$ entonces $\exists f\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_k] : f(\overline x)\equiv 0\pmod n\iff \overline x\equiv \overline 0\pmod n$

Answer 1

Si $x+y$ es par, entonces ambos $x$ y $y$ son Impares, o ambos son pares. Por lo tanto, $x$ y $y$ son ambos pares porque de lo contrario $xy$ sería impar.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ x^2=(x+y)x-xy $$ y $$ y^2=(x+y)y-xy $$ siendo las diferencias de dos números pares, son ambos pares.

Por lo tanto, tanto $x$ y $y$ están igualados.

Answer 3

Observe que $\displaystyle (x+1)(y+1)=xy+x+y+1$ es impar como $xy,x+y$ son incluso

Si $x$ es impar $\iff x+1$ es incluso

Answer 4

Si $xy$ es par, entonces $x$ o $y$ es par. Si $x+y$ es par y $x$ es par, entonces también lo es $y$ . Si $x+y$ y $y$ son pares, entonces también lo son $x$ .

Answer 5

Comience con las cantidades $x\cdot y$ y $x+y$ dados como enteros pares donde $x,y$ son números enteros. Entonces tenemos que $2|x\cdot y\implies 2|x\text{ or }2|y$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $2|x\implies \exists m\in\mathbb Z\text{ such that }x=2m.$ A continuación, tenemos $2m+y$ es par, lo que significa que $\exists n\in\mathbb Z$ tal que $2m+y=2n$ lo que significa que $y=2n-2m$ . $m,n$ son números enteros, por lo que $2n-2m$ es par y por lo tanto $y$ está en paz.

Así, hemos demostrado directamente que $x\cdot y$ y $x+y$ ambos incluso para $x,y$ enteros implica que $x$ y $y$ son ambos enteros pares.