Un entero a contar de la función n(x)

Question

Contando el número de enteros positivos ($n(x)$) por debajo de un cierto número x, es, obviamente, simple y trivial: es $x$, sin embargo sólo al $x$ es un número entero.

En el logarítmica de la primer función de recuento $\psi(x) = x - \log(2\pi) - \frac12 \log(1- \frac{1}{x^2}) - \sum_{\rho} \dfrac{x^{\rho}}{\rho}$, una constante (primer término), la infinita suma de ceros triviales (medio plazo) y la infinita suma de la no-trivial ceros (último plazo) de $\zeta(s)$, muy bien cuenta de las diferencias entre la $x$$\psi(x)$. Esto aniquila los errores de aproximación de $\psi(x)$ a los números enteros, sino también entre ellos y se induce el necesario primer paso a la función.

Me preguntaba si una similar de "abajo hacia arriba" fórmula existe, es decir, que involucran el infinito sumas de (complejo) de ceros (llamarlos $\mu$) de una función. Tal fórmula sería así: $n(x) = x - c - \sum_{\mu} \dfrac{x^{\mu}}{\mu}$. En los enteros, obviamente, hay que ser cero, pero entre los enteros se necesita la suma de una cantidad infinita de ondas sinusoidales que luego culmina en el patrón de diente de sierra en el siguiente gráfico.

Hace una función de este tipo existen? Y si es así, podría ser extendido hacia contando, por ejemplo, sólo o, incluso, sólo números impares?

EDITAR:

La fórmula de la onda de diente de sierra en la gráfica de arriba es fácil de deducir y es:

$$\displaystyle saw(x):=\frac12 - \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2nx\pi)}{n}= \frac12 +\frac{i}{2\pi}\ln(e^{-2\pi i (x-\frac12)})$$

Sin embargo, esto todavía no se me permite expresar $n(x)$ en una infinita suma que implica (complejo) de ceros.

Answer 1

Creo haber encontrado una respuesta. No del todo perfecto, sin embargo me parece bastante satisfactorio.

Yo en primer lugar reescribió $\sin(x2\pi n)$ en el diente de sierra de la función:

$$\displaystyle saw(x):=\frac12 - \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(x2\pi n)}{n}$$

en su Weierstrass producto, lo que da:

$$\displaystyle saw(x):=\frac12 - 2x \sum_{n=1}^{\infty} \prod_{k=1}^{\infty}\left( 1- \frac{4n^2x^2}{k^2}\right)$$

Esto a su vez puede ser escrita como:

$$\displaystyle saw(x):=\frac12 - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{x 2\pi ni}} {2 n \pi i}+\frac{e^{-x 2 \pi ni}} {-2 n \pi i}\right)$$

Esto se ve ya muy cerca de la estructura, yo después. Sin embargo, todavía tengo que encontrar una función que ha $\mu_n = 2 \pi ni$ $\overline{\mu_n} =-2 \pi ni$ como su simétricamente emparejado raíces.

Sé que el siguiente producto de Hadamard es verdadera:

$$\displaystyle \xi_{int}(\frac{s}{2 \pi}) = \xi_{int}(0) \prod_{n=1}^\infty \left(1- \frac{s}{2 \pi ni} \right) \left(1- \frac{s}{{-2 \pi ni}} \right) $$

donde$\xi_{int}(s) = \frac{\sinh(\pi s)}{s}$$\xi_{int}(0)=\pi$. Así que esto nos da:

$$\displaystyle \xi_{int}(s) = \frac{ 2 \pi \sinh \left(\dfrac{s}{2}\right) }{s}$$

Poniendo todo esto junto con esto se establece el resultado que necesito:

$$\displaystyle saw(x):=\frac12 - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{x \mu_n}} {\mu_n}+\frac{e^{x \overline{\mu_n}}} {\overline{\mu_n}}\right)$$

con $\mu_n$ $\overline{\mu_n}$ siendo el par de raíces complejas de $\xi_{int}(s)$.

Y el entero función de recuento de la siguiente manera (muy similar a la prime-función de cuenta):

$$n(x):= x-\frac12 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{x \mu_n}} {\mu_n}+\frac{e^{x \overline{\mu_n}}} {\overline{\mu_n}}\right)$$

Aquí hay un gráfico de la ilustración ($s$ es un número complejo en el gráfico de la izquierda):

El resultado puede generalizarse para todos (no entero) múltiplos. Deje $l \in \mathbb{R}$ y asumir $l=1 \rightarrow x=1,2,3...$, $l=2 \rightarrow x=2,4,6...$, $l=\sqrt{3} \rightarrow x=\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3}...$,etc. A continuación, los genéricos de la múltiple función de conteo se convierte en:

$$\displaystyle n(x,l):= \frac{x}{l}-\frac12 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{\dfrac{x \mu_n}{l}}} {\mu_n}+\frac{e^{\dfrac{x \overline{\mu_n}}{l}}} {\overline{\mu_n}}\right)$$

donde $\mu_n$ $\overline{\mu_n}$ son el n-ésimo par de raíces complejas de:

$$\displaystyle \xi_{int}(s,l) = \frac{ 2 \pi \sinh \left(\dfrac{ls}{2}\right) }{s}$$

Para la integridad causa de que yo también la lista de la forma cerrada para esta función de conteo:

$$\displaystyle n(x,l):= \frac{x}{l}-\frac12 - \frac{i}{2 \pi} \ln \left(e^{-2\pi i(\frac{x}{l}-\frac12)} \right)$$

Ahora la única pregunta que queda es donde la constante $\frac12$ se origina a partir de. Probado ya $\dfrac{\xi_{int}'(0)}{\xi_{int}(0)}$, similar a la primer función de conteo, pero sin éxito todavía.