Motivación del concepto de "conjunto abierto" en topología

Question

Estoy mirando la sección "Motivación" de la entrada de Wikipedia sobre "conjuntos abiertos": https://en.wikipedia.org/wiki/Open_set#Motivation y no estoy seguro de que esté haciendo un buen objeto de motivar a los conjuntos abiertos, en contraposición a los conjuntos cerrados.

Cito: "Intuitivamente, un conjunto abierto proporciona un método para distinguir dos puntos. Por ejemplo, si en torno a un punto de un espacio topológico existe un conjunto abierto que no contiene otro punto (distinto), se dice que los dos puntos son topológicamente distinguibles. De este modo, se puede hablar de si dos subconjuntos de un espacio topológico están "cerca" sin definir concretamente una métrica sobre el espacio topológico. Por tanto, los espacios topológicos pueden considerarse una generalización de los espacios métricos".

Me parece (estoy seguro de que esto es demasiado ingenuo) que podría distinguir igualmente dos puntos utilizando conjuntos cerrados en lugar de abiertos. ¿Qué es lo que me falta? ¿Qué tienen de crucial los abiertos que no tienen los conjuntos cerrados?

Actualización : Tengo la sensación de que tal vez los abiertos son "menos precisos" que los conjuntos cerrados, en el sentido de que la frontera de un conjunto, que tienen los conjuntos cerrados, es un objeto con una "posición" bastante precisa. Los abiertos parecen evitar tener que ser tan precisos en algo - sé que esto es vago. Puede que incluso sea erróneo, pero parece que podría ser una intuición útil para diferenciar los abiertos de los cerrados? ¿O no?

Answer 1

También se podría definir la topología definiendo los conjuntos cerrados, exigiendo que su espacio y el conjunto vacío sean cerrados, y que las intersecciones arbitrarias y las uniones finitas de conjuntos cerrados sean cerradas. Como los conjuntos abiertos son los complementos de los conjuntos cerrados, esto nos daría los conjuntos abiertos, y definiría exactamente la misma topología.

Para una respuesta más pedagógica o filosófica, véase este hilo de mathoverflow para una buena discusión sobre la motivación/interpretación de los conjuntos abiertos: https://mathoverflow.net/questions/19152/why-is-a-topology-made-up-of-open-sets

Answer 2

Dado que los conjuntos cerrados son, por definición, exactamente aquellos cuyos complementos son abiertos, podríamos hacerlo todo igualmente hablando de conjuntos cerrados en lugar de abiertos. El hecho de que los conjuntos abiertos sean la forma más común de definir una topología es puramente convencional.

Answer 3

Tu intuición sobre la "vaguedad" de los conjuntos abiertos es correcta.

Inuitivamente, si $U$ es un conjunto abierto en el espacio topológico $X$ y $x \in U$ entonces $U$ contiene necesariamente cualquier otro punto en $X$ que está "lo suficientemente cerca" de $x$ .

Ahora bien, esta afirmación tiene un significado preciso en un espacio métrico: en ese entorno, "suficientemente cerca" significa "dentro de la distancia $\epsilon$ " para algunos $\epsilon > 0$ ", y entonces la declaración anterior se convierte en la definición de un subconjunto abierto de un espacio métrico. En un espacio topológico general, los conjuntos abiertos son los que proporcionan el sentido de "cercanía", por lo que la afirmación anterior es, en el mejor de los casos, circular, pero aun así es lo que debes tener en cuenta. Hay que contrastarlo con los conjuntos cerrados: si $x$ es un punto en la frontera de un conjunto cerrado $F$ entonces habrá puntos en $X$ que se acerquen lo más posible a $x$ pero no están en $F$ (los puntos del "otro lado de la frontera" a $F$ (de forma intuitiva: piense en los puntos finales de un intervalo cerrado, o en un punto de la frontera de un disco cerrado).

La discusión anterior es puramente intuitiva: para ver realmente cómo se utilizan las definiciones de conjuntos cerrados y abiertos hay que avanzar un poco más en el estudio de la topología y ver la forma técnica en que se utilizan estas nociones. Si aún no lo has hecho, puede ser bueno empezar con el caso del espacio métrico: entonces los subconjuntos abiertos y cerrados se definen en términos de la métrica, al igual que el concepto "suficientemente cercano a $x$ ", y las intuiciones anteriores se vuelven precisas.
Entonces, en tu estudio, verás que se pueden definir muchos conceptos, y que se pueden demostrar muchos teoremas, puramente en términos de subconjuntos abiertos y cerrados, sin tener que referirse explícitamente a la métrica. (Por ejemplo, las definiciones y propiedades básicas de continuidad, convergencia, compacidad, conectividad, etc.) En este punto, te parecerá natural abstraer las propiedades de los conjuntos abiertos y cerrados, sin utilizar la muleta de una métrica para definirlas.

Answer 4

Una forma de que los conjuntos abiertos sean más útiles que los cerrados es el siguiente hecho:

Si $(X,\tau)$ es un conjunto topológico, y $U$ es un subconjunto de $X$ entonces $U$ es abierto si y sólo si tiene la propiedad de que para cada $x\in X$ existe un conjunto abierto $V_x$ satisfaciendo $x\in V_x\subset U$ (Llamamos $V_x$ un barrio abierto de $x$ ).

La prueba es muy fácil: por supuesto, si $U$ está abierto, podemos simplemente tomar $V_x=U$ para cada $x$ . A la inversa, observe que:

$$ U \subset \bigcup_{x\in X}V_x\subset U $$

Así que $U=\bigcup_{x\in X}V_x$ que es la unión de conjuntos abiertos y, por lo tanto, abiertos.

Si se sustituye "abierto" por "cerrado" en el hecho anterior, el resultado no es verdadero. Por ejemplo, cada punto del intervalo abierto $(0,1)$ tiene una vecindad cerrada en ese conjunto, pero $(0,1)$ no es cerrado. La prueba dada anteriormente para los conjuntos abiertos falla porque las uniones infinitas de conjuntos cerrados no tienen por qué ser cerradas.

Me gusta este hecho, porque es muy parecido a la definición de conjunto abierto en los espacios métricos: un conjunto es abierto si cada punto del conjunto tiene una bola abierta a su alrededor que está contenida en el conjunto. Obviamente, no se puede utilizar el hecho anterior como definición de conjunto abierto, ya que implica conjuntos abiertos, pero ocurre lo mismo. Muy a menudo en topología se define un base de conjuntos abiertos - una colección de conjuntos abiertos como las bolas abiertas en los espacios métricos. Otros conjuntos abiertos son entonces conjuntos en los que cada punto tiene una vecindad que es uno de los conjuntos abiertos básicos.

Curiosamente, podemos cambiar la definición de conjunto abierto por la siguiente: un conjunto $U\subset X$ es abierto si y sólo si para cada $x\in U$ existe $\varepsilon_x$ de manera que el bola cerrada $B_x(\varepsilon_x)$ está contenida en $U$ . Es bastante fácil ver que esta definición es exactamente equivalente a la definición de bolas abiertas: toda bola abierta contiene una bola cerrada, y toda bola cerrada contiene una bola abierta. Pero, ¿por qué querrías definir los conjuntos abiertos utilizando bolas cerradas? Tiene mucho más sentido definirlos con bolas abiertas.

Al final, resulta mucho más útil que las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos sean abiertas que las intersecciones arbitrarias de conjuntos cerrados sean cerradas. Dicho esto, muchas pruebas topológicas se plantean de forma más natural utilizando conjuntos cerrados (como mi prueba favorita del teorema de Bruijn-Erdős o La célebre prueba de Furstenberg de la infinitud de los primos ). Además, algunas topologías, como la Topología de Zariski se definen con mayor precisión especificando los conjuntos cerrados, en lugar de los abiertos.

Answer 5

Mi forma de ver esto es simplemente como una generalización. Tomemos la definición de continuidad tal y como es en el análisis real: $$\forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0 : |x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon $$

Y ahora podemos usar esto para, con suerte, ver lo que es importante, y usarlo para generalizar nuestra noción de continuidad para aplicarla a contextos más generales. El enfoque que tienen los espacios métricos es notar que la definición dice algo sobre las distancias entre $x,c$ y $f(x),f(c)$ y, por tanto, define la continuidad en términos de lo que se elija para definir la "distancia" en un espacio más general.

La topología, por su parte, observa que la definición envía el conjunto abierto $|x-c|<\delta$ al conjunto abierto $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ . A partir de esto, la topología conserva esta idea (que se puede demostrar en el contexto del análisis; que las imágenes abiertas tienen preimágenes abiertas si el mapa es continuo) y la utiliza para definir la continuidad.

Por eso, al menos para mí, los espacios métricos se ocupan de las distancias, y los espacios topológicos de los conjuntos abiertos.