Ramanujan 'bien conocidos' integral, $\int_\frac{-\pi}{2}^\frac{\pi}{2} (\cos x)^m e^{in x}dx$.

Question

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^m\left(x\right){\rm e}^{{\rm i}n x}\,{\rm d}x ={\pi \más de 2^{m}}\, {\Gamma\left(1 + m\right) \más \Gamma\left( 1 + \left[m + n\right]/2\right)\ \Gamma\left( 1 + \left[m - n\right]/2\right)} $$

Que aparecen en el inicio de Ramanujan del papel 'Una Clase de Integrales Definidas', el de arriba es, citado como 'conocidos', particularmente desalentador como lo puedo probar. Alguien sabe de una buena prueba?

$\Re(m)>-1$ y supongo que $m \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{R}$.

Answer 1

Primero agregar la restricción $n >m$. Esto puede ser posteriormente eliminado por medio de continuación analítica.

A continuación, $$ \begin{align} \int_{-\pi /2}^{\pi /2} (\cos x)^{m} e^{inx} \ dx &= \int_{- \pi /2}^{\pi /2} (\cos x)^{m} \cos(nx) \ dx \\ &= \text{Re} \int_{- \pi/2}^{\pi /2} \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^{m} e^{inx} \ dx \\ &= \frac{1}{2^{m}} \text{Re} \frac{1}{i} \int_{C} (z+z^{-1})^{m} z^{n-1} \ dz \\ &= \frac{1}{2^{m}} \text{Re} \frac{1}{i} \int_{C} \left(z^{2}+1 \right)^{m} z^{n-m-1} \ dz \\ &= \frac{1}{2^{m}} \text{Re} \frac{1}{i} \int_{C} f(z) \ dz \end{align}$$

donde $C$ es la mitad derecha de la unidad de círculo atravesado en sentido antihorario con un cuarto de círculo hendiduras alrededor de los puntos de ramificación en$z=-i$$z=i$.

Tiene la rama de corte para $f(z)$ corriendo por el eje imaginario de $z=i$ y definen $f(z)$ a ser un valor real en el eje real positivo.

Ahora hay que cerrar el contorno con una línea vertical de un segmento a la derecha de $[-i,i]$ con la mitad de un círculo de sangría alrededor del punto de ramificación en $z=0$.

Justo a la derecha de la rama de corte y sobre el origen,

$$f(z) = |z^{2}+1|^{m} |z|^{n-m-1} e^{i \pi /2(n-m-1)} .$$

Mientras que justo a la derecha de la rama de corte y por debajo del origen y por encima de $z=-i$,

$$f(z) =|z^{2}+1|^{m} |z|^{n-m-1} e^{-i \pi /2(n-m-1)} .$$

Y debido a la mayor restricción, las aportaciones de los tres hendiduras se desvanecen en el límite.

Por ejemplo, alrededor de $z=0$,

$$ \Big| \int_{\pi/2}^{- \pi/2} f(re^{it}) \ i r e^{it} \ dt \Big| \le \pi \ (r^{2}+1)^{m} r^{n-m}$$

que se desvanece como $r \to 0$ desde $n>m$.

Luego va todo el contorno,

$$ \int_{C} f(z) \ dz + e^{i \pi /2 (n-m-1)}\int_{1}^{0} \left| (te^{i \pi /2})^{2} +1 \right|^{m} |te^{ i \pi /2}|^{n-m-1} e^{ i \pi /2} \ dt $$

$$+ \ e^{-i \pi /2 (n-m-1)}\int_{0}^{1} \left| (te^{-i \pi /2})^{2} +1 \right|^{m} |te^{ -i \pi /2}|^{n-m-1} e^{ -i \pi /2} \ dt = 0 $$

lo que implica

$$ \begin{align} \int_{C} f(z) \ dz &= e^{ i \pi /2 (n-m)} \int_{0}^{1} (1-t^{2})^m t^{n-m-1} \ dt - e^{- i \pi /2 (n-m)} \int_{0}^{1} (1-t^{2})^{m} t^{n-m-1} \ dt \\ &= 2 i \sin \left( \frac{\pi}{2} (n-m) \right) \int_{0}^{1} (1-t^{2})^{m} t^{n-m-1}\ dt \\ &= i \sin \left( \frac{\pi}{2} (n-m) \right) \int_{0}^{1} (1-u)^{m} u^{n/2-m/2-1} \ du \\ &= i \sin \left( \frac{\pi}{2} (n-m) \right) B \left( \frac{n}{2} - \frac{m}{2}, m+1 \right) \\ &= i \sin \left( \frac{\pi}{2} (n-m) \right) \frac{\Gamma(\frac{n}{2} - \frac{m}{2}) \Gamma(m+1)}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2} + 1)} .\end{align}$$

A continuación, utilizando la reflexión de la fórmula para la función gamma,

$$ \int_{C} f(z) \ dz= i \pi \frac{\Gamma(m+1)}{ \Gamma(1- \frac{n}{2} + \frac{m}{2})\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1)} .$$

Por lo tanto,

$$ \begin{align} \int_{-\pi /2}^{\pi /2} (\cos x)^{m} e^{inx} \ dx &= \frac{1}{2^{m}} \text{Re} \frac{1}{i} i \pi \frac{\Gamma(m+1)}{ \Gamma(1- \frac{n}{2} + \frac{m}{2})\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1)} \\ &=\frac{\pi}{2^m} \frac{\Gamma(1+m)}{\Gamma \left(1+ \frac{m+n}{2}\right)\Gamma \left(1+ \frac{m-n}{2}\right)} . \end{align} $$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{m}\pars{x}\expo{\ic nx}\,\dd x ={\pi \más de 2^{m}}\, {\Gamma\pars{1 + m} \\Gamma\pars{1 + \bracks{m + n}/2}\,\Gamma\pars{1 + \bracks{m n}/2}}:\ {\large ?}}$

\begin{align} &\color{#c00000}{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{m}\pars{x}\expo{\ic nx}\,\dd x} =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bracks{1 + \cos\pars{2x} \over 2}^{m/2}\expo{\ic nx}\,\dd x \\[3mm]&=2^{-m/2 - 1}\int_{-\pi}^{\pi}\bracks{1 + \cos\pars{x}}^{m/2} \expo{\ic nx/2}\,\dd x \\[3mm]&=2^{-m/2 - 1} \int_{\verts{z} = 1 \atop {\vphantom{\Huge A}\verts{{\rm Arg}\pars{z}}\ <\ \pi}} \pars{1 + {z^{2} + 1 \over 2z}}^{m/2}z^{n/2}\,{\dd z \over \ic z} \\[3mm]&=-2^{-m - 1}\,\ic \int_{\verts{z} = 1 \atop {\vphantom{\Huge A}\verts{{\rm Arg}\pars{z}}\ <\ \pi}} \pars{2z + z^{2} + 1}^{m/2}z^{\pars{n - m}/2 - 1}\,\dd z \\[3mm]&=-2^{-m - 1}\,\ic \int_{\verts{z} = 1 \atop {\vphantom{\Huge A}\verts{{\rm Arg}\pars{z}}\ <\ \pi}} \pars{z + 1}^{m}z^{\pars{n - m}/2 - 1}\,\dd z \\[3mm]&=2^{-m - 1}\,\ic \int_{-1}^{0}\pars{x + 1}^{m}\pars{-x}^{\pars{n - m}/2 - 1} \exp\pars{\ic\pi\bracks{{n - m \over 2} - 1}}\,\dd x \\[3mm]&\mbox{}+ 2^{-m - 1}\,\ic \int_{0}^{-1}\pars{x + 1}^{m}\pars{-x}^{\pars{n - m}/2 - 1} \exp\pars{-\ic\pi\bracks{{n - m \over 2} - 1}}\,\dd x \\[3mm]&=2^{-m - 1}\,\ic \int_{0}^{1}\pars{1 - x}^{m}x^{\pars{n - m}/2 - 1} \exp\pars{\ic\pi\bracks{{n - m \over 2} - 1}}\,\dd x \\[3mm]&\mbox{}- 2^{-m - 1}\,\ic \int_{0}^{1}\pars{1 - x}^{m}x^{\pars{n - m}/2 - 1} \exp\pars{-\ic\pi\bracks{{n - m \over 2} - 1}}\,\dd x \\[3mm]&=2^{-m - 1}\ic\braces{2\ic\sin\pars{\pi\bracks{{n - m \over 2} - 1}}} \int_{0}^{1}x^{\pars{n - m}/2 - 1}\pars{1 - x}^{m}\,\dd x \end{align}

$$ \color{#c00000}{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{m}\pars{x}\expo{\ic nx}\,\dd x} =2^{m}\sin\pars{{n - m \over 2}\,\pi}{\rm B}\pars{{n - m \over 2},m + 1}\,,\qquad \Re\pars{n} > \Re\pars{m} > -1 $$ donde $\ds{{\rm B}\pars{x,y} \equiv \int_{0}^{1}t^{x - 1}\pars{1 - t}^{y - 1}\,\dd t}$ es la Función Beta $\pars{~\mbox{with}\ \Re\pars{x}, \Re\pars{y} > 0~}$ que tiene la propiedad de $\ds{{\rm B}\pars{x,y} = {\Gamma\pars{x}\Gamma\pars{y} \over \Gamma\pars{x + y}}}$. $\ds{\Gamma\pars{z}}$ es la La Función Gamma.

Entonces \begin{align} &\color{#c00000}{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{m}\pars{x}\expo{\ic nx}\,\dd x} =2^{-m}\sin\pars{{n - m \over 2}\,\pi}\, {\Gamma\pars{\bracks{n - m}/2}\Gamma\pars{m + 1} \over \Gamma\pars{\bracks{n + m}/2 + 1}}\tag{1} \end{align} Mediante el uso de la función Gamma Euler Reflexión Fórmula $\ds{\Gamma\pars{z}\Gamma\pars{1 - z} = {\pi \over \sin\pars{\pi z}}}$ nos encontramos con: $$ \sin\pars{{n - m \over 2}\,\pi}\Gamma\pars{n - m \over 2} ={\pi \\Gamma\pars{1 + \bracks{m n}/2}} $$ tal que $\pars{1}$ se reduce a $$\color{#00f}{\large% \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{m}\pars{x}\expo{\ic nx}\,\dd x ={\pi \más de 2^{m}}\, {\Gamma\pars{1 + m} \\Gamma\pars{1 + \bracks{m + n}/2}\,\Gamma\pars{1 + \bracks{m n}/2}}} $$