Cómo probar esto $x^2+y^2+z^2+3\ge 2(xy+yz+xz)$

Question

deje $x,y,z$ ser números reales, y tal $$x+y+z+xyz=4$$ mostrar que $$x^2+y^2+z^2+3\ge 2(xy+yz+xz)$$

Yo: vamos a $$x+y+z=p,xy+yz+xz=q,xyz=r$$ entonces $$p+r=4$$ entonces $$\Longleftrightarrow p^2+3\ge 4q$$

Pero no puedo.Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que es suficiente para considerar $x, y, z \ge 0$. A continuación, la condición de rendimientos $4 = x+y+z+xyz \ge 3\sqrt[3]{xyz}+xyz \implies xyz \le 1$.

También tenga en cuenta que entre los $x-1, y-1, z-1$, al menos dos tienen el mismo signo. WLOG deje $(y-1)(z-1) \ge 0$. Entonces tenemos: $$(x-1)^2+(y-z)^2+2x(y-1)(z-1) \ge 0$$ $$\implies x^2+y^2+z^2+2xyz + 1 \ge 2(xy+yz+zx)$$

que a lo largo de con $xyz \le 1$ le da el resultado.

Answer 2

Creo que usted debería considerar la posibilidad de $f(x,y,z): {\bf R}^3 \to {\bf R}$ se define como

$$(x,y,z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 -2xy -2yz -2xz + 3.$$

A continuación, $f \in {\mathcal C}^\infty({\bf R}^3)$ y usted podría investigar donde $f(x,y,z) = 0$. Que podría conseguir un poco más allá.

Answer 3

Siguiendo la sugerencia de TooOldForMath dado en los comentarios de arriba podemos definir $$ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+3-2(xy+yz+xz) $$ que es el multivariante de la función que queremos mostrar tiene un valor mínimo mayor o igual a cero cuando se sujeta a la restricción $$ g(x,y,z)=x+y+z+xyz=4 $$ entonces definimos $$ \Lambda(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda(g(x,y,z)-4) $$ y calcular el correspondiente sistema de ecuaciones $$ \begin{align} \frac{\partial\Lambda}{\partial x}&=2x-2y-2z+\lambda(1+yz)&=0\\ \frac{\partial\Lambda}{\partial y}&=2y-2x-2z+\lambda(1+xz)&=0\\ \frac{\partial\Lambda}{\partial z}&=2z-2x-2y+\lambda(1+xy)&=0\\ \frac{\partial\Lambda}{\partial \lambda}&=x+y+z+xyz-4&=0 \end{align} $$ Este sistema es simétrico en $x,y$ $z$ y se puede resolver por Gauss elimintation para conseguir las soluciones $$ x=y=z=\lambda=1\\ \mbox{y}\\ x=4,y=z=-0.5,\lambda=-8 $$ En la última solución de un posible intercambio de $x,y$ $z$ a tres esencialmente idénticas soluciones. Además, hay un complejo de valores de la solución también, pero eso no tiene ninguna relevancia a la pregunta actual. Conectar $(x,y,z)=(1,1,1)$$(x,y,z)=(4,-0.5,-0.5)$, respectivamente, obtenemos el mínimo y el máximo de la función, es decir, $$ \begin{align} f(1,1,1)&=0\\ f(4,-0.5,-0.5)&=27 \end{align} $$ Demostrando que $f$, de hecho es mayor que o igual a cero en todas partes en la curva definida por $g(x,y,z)=4$. De hecho,$g(x,y,z)=4\implies f(x,y,z)\in[0,27]$. El reclamo sigue!