Demostrando $\lim_{n\to\infty}\left(n-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^k}}\right)=1+\sum_{p\in P}\frac{1}{p\left(p-1\right)}$?

Question

$$\lim_{n\to\infty}\left(n-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^k}}\right)=1+\sum_{p\in P}\frac{1}{p\left(p-1\right)}$$

$P$ es de los números primos.

Interesante pregunta, mientras que corrió a través de la tutoría. No está seguro de cómo resolverlo, ni siquiera de qué clase es.

Answer 1

Si he calculado correctamente, parece que la respuesta es incorrecta. De hecho,

\begin{align*} n-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\zeta(k)} &= n-\sum_{k=2}^{n}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\mu(m)}{m^k} = 1-\sum_{k=2}^{n}\sum_{m=2}^{\infty} \frac{\mu(m)}{m^k} = 1-\sum_{m=2}^{\infty} \mu(m) \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{m^k}, \end{align*}

y teniendo en $n\to\infty$ obtenemos

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left( n-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\zeta(k)} \right) &= 1-\sum_{m=2}^{\infty} \mu(m) \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k} = 1-\sum_{m=2}^{\infty} \frac{\mu(m)}{m(m-1)} \\ &= 1 + \sum_{p\in\Bbb{P}} \frac{1}{p(p-1)} - \sum_{p,q\in\Bbb{P}} \frac{1}{pq(pq-1)} + \cdots. \end{align*}

Cálculos numéricos con ayuda de Mathematica también sugiere que

$$ \lim_{n\to\infty} \left( n-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\zeta(k)} \right) \approx 1.70521, $$

mientras

$$ 1 + \sum_{p\in\Bbb{P}} \frac{1}{p(p-1)} \approx 1.77316. $$