Demostrar que el racional se puede expresar en la forma $\sum\limits_{k=1}^n{\frac{1}{a_k}}$, $a_k\in\mathbb N^*$

Question

Deje $x\in\mathbb{Q}$$x>0$.

Demostrar que podemos encontrar $n\in\mathbb{N}^*$ y distinta $a_1,...,a_n \in \mathbb{N}^*$ tal que $$x=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{a_k}}$$

Answer 1

Cualquier número racional $0 < x < 1$ posee un llamado Egipcio fracción de descomposición, que escribe $x$ como una suma de fracciones con la unidad de los numeradores. Uno constructiva prueba de ello es la utilización de un "codiciosos" algoritmo, que mantiene restando la unidad y de las fracciones de la forma $\dfrac1{\lceil 1/x\rceil}$.

He aquí algunos de Mathematica código que muestra el codicioso enfoque para $\dfrac{21}{23}$:

f = 21/23; l = {};
While[f != 0, l = {l, p = Ceiling[1/f]}; f -= 1/p;];
Flatten[l]

{2, 3, 13, 359, 644046}

Este dice que

$$\frac{21}{23}=\frac12+\frac13+\frac1{13}+\frac1{359}+\frac1{644046}$$

This is a very naïve method, as there are other algorithms that yield unit fractions with tinier denominators. For the purposes of this question, it suffices to prove that the algorithm halts. As mentioned here (the proof is attributed to Fibonacci), if we let $m=\lceil 1/x \rceil$, then we always have the bracketing $\dfrac1{m} \leq x < \dfrac1{m-1}$. The numerator of $x\dfrac1{m}$ can then be shown to be smaller than the numerator of $x$. Por lo tanto, la aplicación repetida de los pasos de la reciprocidad y de la resta de los resultados en los numeradores que ir más y más pequeño, hasta que el resto después de restar la unidad de las fracciones es igual a cero.

Ver esto de una buena bibliografía de los métodos de descomposición.