Derivado de la $\int_0^1 e^{\sqrt{x^2+t^2}}\,\mathrm{d}x$ $t = 0$

Question

Deje que el valor real de la función de $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser definido por $$\phi(t)=\int_0^1e^{\sqrt{x^2+t^2}}\,\mathrm{d}x,$$ entonces puede demostrarse que $\phi$ es continua y diferenciable.

Deseo encontrar sus derivados, en particular en $\mathbf{t = 0}$. Creo que, desde la integración es independiente de $t$, que puedo diferenciar en la integración de signo (que me corrija si estoy equivocado), de ahí $$\phi'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_0^1e^{\sqrt{x^2+t^2}}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{\sqrt{x^2+t^2}}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{te^{\sqrt{x^2+t^2}}}{\sqrt{x^2+t^2}}\,\mathrm{d}x.$$ Ingenuamente, a continuación, se parece a $\phi'(0) = 0$, ya que el es $0$ los tiempos de algo. Sin embargo, como $t\to0$, se obtiene la forma indeterminada $0\cdot \infty$ desde el integrando se vuelve infinito, así que no podemos decir que $\phi'(0) = 0$.

He intentado varias sustituciones, pero no estoy seguro de si este es el enfoque correcto. Tal vez, es necesario utilizar el teorema de convergencia dominada o algo de ese tipo?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Su última integral es igual a

$$\int_0^1 \frac{e^{\sqrt{x^2+t^2}}}{\sqrt{(x/t)^2+1}}\,dx.$$

El integrands son uniformemente acotadas para los pequeños $t.$ convergen pointwise a $0.$ por lo tanto $\phi'(t)\to 0$ $t\to 0$ por el teorema de convergencia dominada. Esto implica $\phi'(0) = 0.$

Answer 2

La diferenciación bajo el signo de integración es realmente un poco difícil. En general, tenemos la función de $f$ que se integra (en este caso $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x,t):=e^{\sqrt{x^2+t^2}}$) parcialmente diferenciable con respecto a la variable de la que no participan en la integración", y que la derivada parcial es continua.

En su pregunta, tenemos que por cada $\epsilon>0$, $f$ es continuamente derivable parcialmente con respecto a la segunda variable cuando restringimos a $[\epsilon,2]\times \mathbb{R}$ (desde entonces hemos de evitar la singularidad en $(0,0)$ ). Así que podríamos decir que: $$\frac{d}{dt}\left(\int_{\epsilon}^{1}e^{\sqrt{x^2+t^2}}dx\right)=\int_{\epsilon}^{1}\frac{d}{dt}\left(e^{\sqrt{x^2+t^2}}\right)dx=\int_{\epsilon}^{1}\frac{te^{\sqrt{x^2+t^2}}}{\sqrt{x^2+t^2}}dx $$ Tenga en cuenta que la evaluación en $t=0$ da $0$ sin ningún tipo de problemas.

Ahora, bajo el supuesto de que $\phi'(0)$ existe, podemos encontrar: $$\phi'(0)=\left.\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^{1}\frac{te^{\sqrt{x^2+t^2}}}{\sqrt{x^2+t^2}}dx\right|_{t=0}=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^1 0\;dt=0 $$