¿Cómo puede hypersurfaces "saber", el grado de su definición de polinomios?

Question

Actualmente estoy tratando de aprender algo de complejo y de la geometría proyectiva. Hay una cuestión que me molesta de nuevo y de nuevo, desde diferentes perspectivas, y no puedo conseguir mi cabeza alrededor de ella. Una encarnación de mi problema:

En el libro por Griffiths y Harris, que define el grado de variedad en el capítulo 1.3. Una de sus definiciones:

En caso de que [la variedad] $V \subset \mathbb P^n$ es una hipersuperficie, hemos visto que puede ser dada en términos de coordenadas homogéneas $X_0 \dots X_n$ como el locus $V = \big( F(X_0 \dots X_n) = 0 \big)\;$ de un polinomio homogéneo $F$. Si $F$ tiene el grado $d$, entonces [...] $V$ tiene el grado $d$.

Una consecuencia sería, por ejemplo, que la canónica paquete de $V$$\mathcal O(d - n - 1) \big|_V$.

Mi problema es: Tal y como yo lo entiendo, el objeto de $V$ aquí es sólo la hipersuperficie como un objeto geométrico (una variedad algebraica se define como el lugar geométrico de un conjunto de polinomios y nada más). Por lo tanto $F$ $F^2$ definiría el mismo objeto $V$. Pero el uso de $F^2$ en lugar de $F$ nos da un grado distinto / diferente canónica paquete, que no tiene sentido...

Answer 1

Tienes toda la razón: esas definiciones en el libro son bastante descuidado!
Si usted tiene un polinomio homogéneo $F(X_0,\dots,X_n)$ grado $d$ debe descomponer en factores irreducibles como $F=F_1^{m_1}\dots F_r^{m_r}$ y asociado a esta descomposición el llamado divisor $$V(F)=m_1V(F_1)+\dots+m_rV(F_r)$$

Los conjuntos de $V(F_i)$ se llama irreducible componentes del divisor $V(F)$ y el conjunto de $V_{red}(F)=V(F_1)\cup\dots \cup V(F_r)$ se llama el apoyo del divisor $V(F)$.
El grado del divisor $V(F)$ es, por supuesto, el grado de $F$ $$\operatorname {deg} F=\sum m_i \operatorname {deg} F_i$$
Contrario a lo que uno podría ingenuamente piensan que es no es una buena idea para reemplazar a $F$ por el producto sin multiplicidades $F_{red}=F_1\dots F_r$.
La razón es que si usted se considera una familia de polinomios irreducibles, como, por ejemplo, $$F_t(X_0,\dots,X_n)=X_0^2+t(X^2_1\dots+X_n^2)$$ you want the limit of the $V(F_t)$'s for $t$ tending to zero (strangely, this makes sense!) to be $V(F_0(X_0,\dots,X_n))=V(X^2_0)$ and not $V(X_0)$, con el fin de obtener un plano lápiz de divisores , llanura ser muy útil más avanzado concepto.

Conclusión
Como usted muy bien dice, debemos considerar la hypersurfaces que saber las multiplicidades de los polinomios que los definen: el divisor concepto es la clave para que el conocimiento.
En su mucho más elemental, libremente disponible en línea libro de las Curvas Algebraicas de Fulton define, en el comienzo del capítulo 3, en una curva exactamente de esta manera: como un divisor.
[Como canónica haces, yo aconsejaría usted para considerar sólo en el caso de una irreductible suave hipersuperficie $V(F)$ ($F$ irreductible ) ]

Answer 2

Aquí es topológico, de manera de recuperar el título. Si $V \subset \mathbb{CP}^n$ es un (suave) hipersuperficie, luego por la Lefschetz hyperplane teorema del mapa

$$H^2(\mathbb{CP}^n, \mathbb{Z}) \to H^2(V, \mathbb{Z})$$

es inyectiva. El lado izquierdo tiene un elemento distinguido $\omega$ dado por la clase de Chern de $\mathcal{O}(1)$, y por lo tanto también lo hace la RHS.

Ahora, el paquete de a $V$ $\mathbb{CP}^n$ es un complejo paquete en la $V$, y también tiene una clase de Chern. Si $V$ es una hipersuperficie de grado $d$, a continuación, en el hecho de la normal de paquete a$V$$\mathcal{O}(d) \mid_V$, por lo que su clase de Chern es $d \omega$.

Así nos encontramos con que podemos recuperar el grado usando solo 1) la clase de Chern de $\mathcal{O}(1)$$H^2(\mathbb{CP}^n, \mathbb{Z})$, y 2) la casi compleja estructura en la normal de paquete a $V$.