Black-Scholes de la PDE con los no-estándar de condiciones de contorno

Question

Tengo el PDE $$ -\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$ con condiciones iniciales y de contorno:

1. $V(0,S)=max(E-S,0) $
2. $V(t,S^*)=E-S^*(t) $
3. $V(t,\infty)=0 $

$S^*$ hallazgo de esta condición - $\frac{\partial V(t,S)}{\partial S}\bigg|_{S=S^*}=-1$, y para $S\le S^*$ deberá realizarse $\frac{\partial V(t,S)}{\partial t}=0$. Donde $\sigma=0.2$, $r=0.08$, $E=100$.

Tengo que encontrar a $V(t,S)$$t=0.25$$S=100$.

Así que, creo que esta PDE me puede resolver usando el método de diferencias finitas. Ahora hice aproximación para el uso de inhibidores de la PDE hacia adelante y hacia atrás expresamente métodos. Pero no sé cómo me puede resolver la condición de límite. Qué necesito aprender para la solución de este PDE? O se puede resolver, y dime cómo lo has hecho. :) Gracias!

Answer 1

A pesar de que no tienen idea acerca de la sustitución de las condiciones iniciales y de contorno, tengo idea de la forma de la solución de este PDE, como yo capaz de resolver los similares del tipo de pregunta.

Creo que sólo interesante acerca de la solución de $t,S\geq0$ :

Deje $V(t,S)=F(t)G(S)$

A continuación, $-F'(t)G(S)+\dfrac{1}{2}\sigma^2S^2F(t)G''(S)+rSF(t)G'(S)-rF(t)G(S)=0$

$F'(t)G(S)=\dfrac{\sigma^2F(t)}{2}\left(S^2G''(S)+\dfrac{2r}{\sigma^2}SG'(S)-\dfrac{2r}{\sigma^2}G(S)\right)$

$\dfrac{2F'(t)}{\sigma^2F(t)}=\dfrac{S^2G''(S)+\dfrac{2r}{\sigma^2}SG'(S)-\dfrac{2r}{\sigma^2}G(S)}{G(S)}=-\xi^2-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2r}{\sigma^2}-1\right)^2-\dfrac{2r}{\sigma^2}$

$\begin{cases}\dfrac{F'(t)}{F(t)}=-\dfrac{\sigma^2\xi^2}{2}-\dfrac{\sigma^2}{8}\left(\dfrac{2r}{\sigma^2}-1\right)^2-r\\S^2G''(S)+\dfrac{2r}{\sigma^2}SG'(S)+\biggl(\xi^2+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2r}{\sigma^2}-1\right)^2\biggr)G(S)=0\end{cases}$

$\begin{cases}F(t)=c_3(\xi)e^{-t\Bigl(\frac{\sigma^2\xi^2}{2}+\frac{\sigma^2}{8}\bigl(\frac{2r}{\sigma^2}-1\bigr)^2+r\Bigr)}\\G(S)=\begin{cases}c_1(\xi)S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}\sin(\xi\ln S)+c_2(\xi)S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}\cos(\xi\ln S)&\text{when}~\xi\neq0\\c_1S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}\ln S+c_2S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}\text{when}~\xi=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore V(t,S)=C_1e^{-\Bigl(\frac{\sigma^2}{8}\bigl(\frac{2r}{\sigma^2}-1\bigr)^2+r\Bigr)t}S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}\ln S+C_2e^{-\Bigl(\frac{\sigma^2}{8}\bigl(\frac{2r}{\sigma^2}-1\bigr)^2+r\Bigr)t}S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}+\int_0^\infty C_3(\xi)e^{-t\Bigl(\frac{\sigma^2\xi^2}{2}+\frac{\sigma^2}{8}\bigl(\frac{2r}{\sigma^2}-1\bigr)^2+r\Bigr)}S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}\sin(\xi\ln S)~d\xi+\int_0^\infty C_4(\xi)e^{-t\Bigl(\frac{\sigma^2\xi^2}{2}+\frac{\sigma^2}{8}\bigl(\frac{2r}{\sigma^2}-1\bigr)^2+r\Bigr)}S^{\frac{1}{2}-\frac{r}{\sigma^2}}\cos(\xi\ln S)~d\xi$

Answer 2

Yo intente calcular la educación a distancia en la respuesta de @Pragabhava, pero creo que tengo un error en mi solución.
Para $S=S^*$, $V'(S)=-1$, a continuación,$V(S)=-S$$V''(S)=0$. Para encontrar una solución general yo uso la fórmula de Liouville.
$\begin{vmatrix} -S & V \\ -1 & V' \\ \end{vmatrix} = ce^{-\int P(S)dS}$
$\int{P(S)dS=\int{\frac{rS}{\frac{1}{2}\sigma^2S^2}}dS}=2\frac{r}{\sigma^2}\int{\frac{dS}{S}}=2\frac{r}{\sigma^2}ln|S|$
$-SV'+V=ce^{-2\frac{r}{\sigma^2}ln|S|}=\frac{c}{S^{2\frac{r}{\sigma^2}}}$
Entonces me dividido por $V^2(S)=S^2$,
$\frac{SV'-V}{S^2}=-\frac{c}{S^{2(\frac{r}{\sigma^2}+1)}}$;
$\big(\frac{V}{S}\big)'=-\frac{c}{S^{2(\frac{r}{\sigma^2}+1)}}$;
$\frac{V}{S}=-c\int\frac{dS}{S^{2(\frac{r}{\sigma^2}+1)}}=c\frac{1}{(2\frac{r}{\sigma^2}+1)S^{(2\frac{r}{\sigma^2}+1)}}$;
$V(S)=\frac{c}{(2\frac{r}{\sigma^2}+1)S^{2(\frac{r}{\sigma^2}+1)}}$
A partir de esta solución común determino $S$:
$-S=\frac{c}{(2\frac{r}{\sigma^2}+1)S^{2(\frac{r}{\sigma^2}+1)}}$;
$S^{2\frac{r}{\sigma^2}+3}=-\frac{c}{2\frac{r}{\sigma^2}+1}$;
$S=\sqrt[2\frac{r}{\sigma^2}+3]{-\frac{c}{2\frac{r}{\sigma^2}+1}}$
Estoy en lo cierto?