Ramanujan ' primera letra s a Hardy y la cantidad de $3$ liso enteros

Question

Un entero positivo es $B$-suave si y sólo si todos sus primos divisores son igual o inferior a un real positivo $B$. Por ejemplo, los $3$-suave enteros son de la forma $2^{a} 3^{b}$ con no exponentes negativos $a$ y $b$, y los números enteros de menos de o igual a $20$ son $\{1,2,3,4,6,8,9,12,16,18\}$.

En Ramanujan la primera carta a G. H. Hardy, Ramanujan enfáticamente comillas (sin pruebas) de su resultado en la cantidad de $3$-suave enteros menos de o igual a $N > 1$, $$\begin{eqnarray} \frac{\log 2 N \ \log 3N}{2 \log 2 \ \log 3}. \end{eqnarray}$$ Esta es una acertada aproximación, como difiere el valor exacto por menos de 3 para los primeros $2^{1000} \approx 1.07 \times 10^{301}$ enteros, como se muestra por Pillai.

Pregunta: Sabiendo bien que Ramanujan sólo dio pruebas de sus propias afirmaciones, mientras trabajaba en Inglaterra, me pregunto si una prueba de esta estimado en particular aparece en algún lugar en la literatura. Es este problema todavía abierto? Si no, ¿qué es una referencia a discutir su prueba?

Gracias!

Answer 1

Toma de registros, uno encuentra que $2^3^b \leq N$ si y sólo si $\log 2 + b \log 3 \leq \log N.$ Para estimar el número de 3-lisa enteros $\leq$ N es la misma que la estimación de el número de entero entramado puntos de la región $a, b \geq 0, \log 2 + b \log 3 \leq \log N.$ El estándar de la estimación para el número de número entero entramado de puntos en un convexo de la región es el área de la región. En nuestro caso, la región es un triángulo de área igual a $$\dfrac{1}{2}\dfrac{\log N}{\log 2}\dfrac{\log N}{\log 3},$$ que está cerca de la estimación que se atribuyen a Ramanujan.

Más precisamente, la estimación que escribió es igual $$\dfrac{1}{2}\dfrac{\log N + \log 2}{\log 2}\dfrac{\log N + \log 3}{\log 3} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\log N}{\log 2} + 1\right)\left(\dfrac{\log N}{\log 3} + 1\right).$$ Probablemente esto se mejora la estimación proviene de la zona, incluyendo la corrección de términos procedentes de la entero puntos a lo largo de la frontera de la región (en particular, las contribuciones provenientes de $a = 0$ o $b = 0$).

(El hecho de que estos "límites" contribuciones vienen con una multiplicidad de $1/2$, parece similar a otros contextos en los que uno se aproxima a un discreto suma por un área, por ejemplo, en Euler--de MacLaurin de suma, y tal vez pensando desde ese punto de vista vamos a conseguir un mejor manejo de las estimaciones precisas.)

Answer 2

Si 2 ^ a3 ^ b \lt N, una \ln 2 + b \ln 3 \lt \ln N$o$a + \frac {b \ln 3} \lt \frac{\ln {\ln 2} N} {\ln 2} $. Para grandes$N$, podemos pasar por alto +1s, así que para contar el número menos de$N$, tenemos$$\sum_{i=0}^\frac{\ln N} {\ln 3} \frac {\ln N-i\ln 3} {\ln 2} = \frac{(\ln N) ^ 2} {\ln \ln 2 3}-\frac{(\ln N) ^ 2} {2\ln 2 \ln 3}$$ que está dentro de una constante de los resultados de Ramanujan.

Answer 3

Para cualquier referencia requisito relacionado con la Ramanujan, siempre es una buena idea revisar la serie de volúmenes, titulado Ramanujan los cuadernos, compilado y anotado por Bruce C. Berndt y otros.

Este es un caso especial de Entrada de 15 de Ramanujan del segundo cuaderno, que es acerca de los números de la forma $\displaystyle a^p b^q$.

Una referencia a esto se puede encontrar aquí: Ramanujan los cuadernos, Volumen 4.

(Le recomiendo que lea la página 66 en adelante)

Una instantánea (a partir de la búsqueda de libros de google mismo enlace):

Este volumen habla de la "prueba" de Ramanujan dio (páginas 68 y 69), proporciona referencias a Hardy libro (que, al parecer, tiene un capítulo entero dedicado a este) y también menciona a un papel por Hardy y Littlewood, que lo trata.

De Bruijn se ha considerado la cantidad de $$y suave de los números en este trabajo: En el número de entero positivo menor que x y libre de factores primos de mayor que y.

La cantidad de $y$liso de números de $\le x$ es al parecer ahora se conoce en la literatura como la DeBruijn función: $\psi(x,y)$.

Una función estrechamente relacionada es la DeBruijn-Dickman función.

También hay una encuesta por Hildebrand y Tenenbaum, que debe ser útil.