Por qué es cada Noetherian cero-dimensional esquema finito discreto?

Question

En el libro La geometría de los esquemas por Eisenbud y Harris, en la página 27 nos encontramos con el ejercicio de la afirmación de que

Ejercicio I. XXXVI.
El espacio subyacente de un cero-dimensional esquema es discreto; si el esquema es Noetherian, es finito.

Pensamientos
Pensé que un cero-dimensional esquema es uno de esos que, en cada anillo local $\mathscr O_{X,p}$, sólo el primer ideal es su único ideal maximal $\mathfrak m_{X,p}.$ por lo tanto, suponiendo que el $X=\operatorname{Spec} R$ es afín, podemos deducir que cada primer ideal es máxima, por lo que cada ponit en $X$ es cerrado. Pero, ¿cómo hace esto implica el discreto? Sólo implica la Hausdorff-nidad de $X$, ¿verdad?
Además, no puedo percibir lo que el "Noetherianity" tiene que ver con la finitud reivindicada aquí. En el afín caso, parece ser alegando que sólo hay un número finito de primer ideales en un Noetherian anillo, si su sistema es cero-dimensional? Por ejemplo, $\mathbb Z$ es un dominio de Dedekind, de ahí su esquema es cero-dimensional, pero tiene un número infinito de números primos: ¿esto contradice la declaración?

Gracias de antemano por cualquier referencia o sugerencia, y señalar cualquier inapropiado punto, si es que se presentan.
Editar veo por qué mi ejemplo no puede trabajar ahora: es una dimensinoal: no olvides pirme $(0)$. Pero todavía me estoy preguntando por qué la afirmación es verdadera...

Answer 1

a) Un noetherian cero-dimensional esquema está cubierto por un número finito de abiertos cuñados que son los espectros de cero-dimensional noetherian anillos.
Si estos espectros son discretos finitos, entonces el esquema es discreta finita.
Esto responde a la segunda parte de su pregunta.

b) he Aquí por qué el espectro de $X=\operatorname{Spec}(A)$ cero-dimensional anillo de $A$ es Hausdorff:
Considere dos puntos distintos de $X$, es decir, los dos máximos ideales de $\mathfrak m,\mathfrak n\subset A$.
Existen idempotente elementos $m\in \mathfrak m, n\in \mathfrak n$$m+n=1$.
La inconexión abrir subconjuntos $ D(n), D(m)$ luego de la separación de los barrios de $\mathfrak m$$\mathfrak n$.
Los detalles (y más) se encuentran en las Pilas del Proyecto aquí.

c) Si por otra parte $A$ es noetherian, a continuación, $X=\operatorname{Spec}(A)$ es finito y por lo tanto discretos.
En efecto un noetherian anillo tiene sólo un número finito de un mínimo de primer ideales y todos los números primos son mínimas en un cero-dimensional anillo.

d) es falso que el espectro de un cero-dimensional anillo es discreta si el anillo no es asumido noetherian:
Si $A=K^\mathbb N$ es numerable de energía de un campo de $K$ $A$ es cero-dimensional y $\operatorname{Spec}(A)$ es homeomórficos a la Piedra-Čech compactification de $\mathbb N$, una terrible bestia que no es ciertamente discreto, ya que es compacto y lo infinito.

Answer 2

Como complemento a Georges excelente respuesta, creo que vale la pena destacar una construcción sistemática de no discreto cero-dimensional de los esquemas.

Comience con un esquema arbitrario $S$, dicen noetherian simplemente lo que sigue. Hay una más fina que la topología en $S$ que la inicial, llamado el edificable topología en $S$. El abierto de subconjuntos para esta topología consiste en construibles de subconjuntos de a $S$ (es decir, finito de la unión de cerrado subconjuntos). Denotar este espacio topológico por $S^{\rm cons}$. Resulta que $S^{\rm cons}$ es siempre totalmente desconectado y compacto, ver EGA IV.1.9.15 ($S$ es noetherian por lo tanto cuasi-compacto y cuasi-separados). Editar por Lo $S^{\rm cons}$ es discreto si y sólo si $S$ es finito (en teoría).

Para terminar, y esto fue muy sorprendente para mí, un "terrible bestia" es el espacio subyacente de un esquema ! Ver EGA IV.1.9.16. Así

$S^{\rm cons}$ es no-discretas y cero-dimensional para cualquier noetherian esquema de que el subyacente el espacio es infinito.

Si $S_1, S_2$ son dos enteros algebraicos variedades no birational a cada otro, entonces el $S_1^{\rm cons}$ no es isomorfo a $S_2^{\rm cons}$ observando los residuos campos.