Mutuamente densamente incrustado no homeomórficos espacios topológicos

Question

Mi pregunta es la siguiente:

¿Existen dos no homeomórficos espacios topológicos $X$ $Y$ tal que hay incrustaciones $f : X \hookrightarrow Y$, $g : Y \hookrightarrow X$, con tanto $f(X)$ denso en $Y$ $g(Y)$ denso en $X$?

Es fácil ver que la respuesta es positiva si uno cae el requisito de que la imagen de ser denso para una de las incrustaciones. Por ejemplo, vamos a $X = [0, 1[$, $Y = [0, 1]$, $f : X \rightarrow Y$ la inclusión, $g : Y \rightarrow X$ definido por $g(y) = \frac{1}{2} y$ cualquier $y \in Y$. Está claro que $f$ $g$ son incrustaciones, y $f(X)$ es denso en $Y$, pero $g(Y)$ no es denso en $X$.

Sin embargo, no puedo encontrar un ejemplo de la fuerte situación anterior, y no sé cómo demostrar que en tal caso los dos espacios deberán ser en realidad homeomórficos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí está un ejemplo con un natural de la topología: $X$ es una unidad de disco en el avión, y $Y$ es el mismo disco perforado en el origen. Aquí $Y$ es, obviamente, incrustado en $X$. Si se elimina uno de los radios de $Y$ (es decir, intervalo que une el origen con el límite del círculo), se obtiene un conjunto abierto homeomórficos para el disco de $X$.

Answer 2

Actualización: en Realidad no es una respuesta, sólo en relación con la idea.

Tenga en cuenta que al componer $f$ $g$ tu pregunta es más fuerte que el de ser capaz de encontrar no trivial de la incorporación de la $X$ a sí mismo con densa imagen o ser capaz de encontrar un trivial subespacio denso homeomórficos a todo el espacio. Para esto existe, al menos en este ejemplo trivial: la Inclusión de (infinito) subconjunto de la misma cardinalidad como todo el espacio, con la topología indiscreta para todos los no-vacío subespacio denso.

Otro ejemplo: no trivial subespacio (por ejemplo, eliminar un punto) de los números racionales sin puntos aislados es homeomórficos a los números racionales.

Actualización: Para los espacios que contienen no trivial densa copia de sí mismo incluye: cualquier indiscreta espacio, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R^n}$ (por @user72694) y cualquier topológica de la suma de aquellos.

En realidad, $\mathbb{Q}$ es un anti-ejemplo a su pregunta en el siguiente sentido: Para $X = \mathbb{Q}$ no es $Y, f, g$, de modo que su condición mantiene desde $\mathbb{Q}$ no está densamente integrable a cualquier subespacio con puntos aislados y cualquier subespacio sin puntos aislados es homeomórficos.