¿La serie $1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots$ convergen?

Question

Hace la siguiente variante de la serie armónica convergen? Si diverge (que creo que sí), puedo saber si diverge a $\infty$ o no tiene límite?

Tenga en cuenta que la serie no es la alternancia en el sentido clásico de la palabra. $$1 + \frac{1}{2} -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots$$

El término genérico de la serie tendría que ser algo como,

$$a_n = \left\{\begin{array}{ll} -\frac{1}{n}, & \text{if } 3 \mid n \\ \;\, \,\, \frac{1}{n}, & \text{otherwise}\end{array}\right.$$ No estoy seguro de si es muy útil. Los términos divisible por 3 son negativos y otros positivos.

Es allí una manera de decidir y probar si una corriente alterna de la serie de este tipo (por ejemplo, con un período de 2) converge? O uno donde los términos son positivos o negativos de acuerdo a alguna otra regla?

Casi todos convergencia de las pruebas que he encontrado son generalmente limitada a la simple alternancia de serie o donde todos los términos son positivos.

Answer 1

No, la serie diverge. Tenga en cuenta que la suma parcial de la longitud de la $3N$ puede ser escrito como

$$\sum_{n=0}^{N-1} \left(\frac{1}{3n+1} + \frac{1}{3n+2} - \frac{1}{3(n+1)}\right).$$

La combinación de los términos, obtenemos

$$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{9 n^2+18 n+7}{3 (n+1) (3n+1) (3 n+2)}$$

y es fácil ver que esto es una divergente la serie por el límite de comparación con $\sum 1/n$. Ahora, si el original de la serie convergente, entonces este sub-secuencia de la secuencia de sumas parciales también tendría que converger.

Answer 2

Tenga en cuenta que las sumas parciales $S_n \geq 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \ldots = \sum_{k=0}^{[n/3]}\frac{1}{3k+1}$, delimitada desde abajo por algunas suma parcial de la serie armónica (dividido por $3$), que varían hasta el infinito.

Answer 3

Es bastante fácil ver que diverge. Es la diferencia entre las dos series, 1/n 2/(n(n+1)). La primera se aleja, la segunda converge.