La prueba de la ley de complejo exponentes utilizando sólo la ecuación diferencial

Question

Acabo de leer que una elegante prueba existe de que la ley de los exponentes también se aplica para los números complejos ($a,b,z$ todo el complejo): $$e^{a+b}=e^ae^b,$$ which only uses the definition that $$y=e^{zt}$$ is a solution to $$dy/dt=zy,$$ with initial condition $y(0)=1$, so in particular $e^z=y(1).$

Sólo puedo encontrar pruebas de que el uso de la trigonometría-representación de los números complejos.

¿Alguien puede ayudar?

Gracias!

Answer 1

Si definimos $e^z$ como la única solución a la ODE $f'(z)=f(z)$ con condición inicial $f(0)=1$, entonces usted tiene por el producto de la regla: $$(e^ze^{c-z})'=e^ze^{c-z} + e^z(-e^{c-z})=0.$$ Por lo tanto $e^ze^{c-z}$ es una constante. Usando la condición inicial $e^0=1$ nos encontramos con que $e^ze^{c-z}=e^c$. Ahora vamos a $z=a$ $c=a+b$ y el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Deje $g(z) = e^{a+z}/e^a$. A continuación,$g'(z) = g(z)$$g(0) = 1$. Por lo $g(z) = e^z$, y tenemos que $e^{a+z} = e^ae^z$.

Que se supone que $e^z$ es la única solución a$f'(z)=f(z)$$f(0)=1$.

Answer 3

Otra forma es ver que cualquier $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ satisfacción $f'(z) = f(z)$ $f(0) = 1$ es analítica en $\mathbb{C}$ (totalidad) y admite un poder de representación de la serie

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$

El hecho de que $f'(z) = f(z)$ $f(0) = 1$ fácilmente nos dan

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$

Ahora es fácil comprobar que $f$ de hecho satisface la anterior ecuación diferencial y las condiciones iniciales (y por lo tanto es la única función) y que

$$f(a+b) = f(a)f(b)$$