¿Existen subespacios cerrados $X$, $Y$ de espacio de Banach, que $X+Y$ no está cerrado?

Question

Estoy buscando un ejemplo de dos subespacios cerrados de un espacio de Banach, tales que su suma no está cerrado.

Answer 1

Ejemplos sencillos se puede obtener de la siguiente manera: Vamos a $E$ $F$ ser espacios de Banach y supongamos $T: E \to F$ es un delimitada lineal operador no cerrado gama. A continuación, $X = E \oplus 0$ $Y = \operatorname{Graph}(T) = \{(e,Te)\,:\,e \in E\}$ son subespacios cerrados de $Z = E \oplus F$ $X + Y$ no cerrado: Si $Te_n \to f \in F \smallsetminus T(E)$ $(0,Te_n) \in X + Y$ pero $(0,f)$ no lo es.

Para un ejemplo claro, tomar $E = \ell^1$, $F = \ell^2$ y $T: E \to F$ el evidente la inclusión.

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Añadido: no es demasiado difícil comprobar que para $X$ finito-dimensional o de la finitud de los co-dimensión del espacio de $X + Y$ está siempre cerrado.