Aut $\mathbb Z_8$ es isomorfo a $\mathbb Z_2 \oplus\mathbb Z_2$

Question

Estoy tratando de probar que Aut $\mathbb Z_8$ es isomorfo a $\mathbb Z_2 \oplus\mathbb Z_2$ pero no tengo ni idea de cómo probarlo. En primer lugar, estoy tratando de demostrar que Aut $\mathbb Z_8$ tiene cuatro elementos. ¿Puedo argumentar que porque $\mathbb Z_8$ tiene cuatro posibilidades de generadores, por ejemplo $\bar 1$ , $\bar 3$ $\bar 5$ , $\bar 7$ ya que cada isomorfismo se completa determinado por la imagen de sus generadores, entonces $\mathbb Z_8$ tiene cuatro elementos?

Necesito ayuda

Gracias

Answer 1

Has empezado con buen pie. Un automorfismo de un grupo cíclico está única y completamente determinado por la imagen de cualquier generador fijo, y esa imagen debe ser a su vez un generador. Eso te demuestra, efectivamente, que $Aut(\mathbb Z_8)$ tiene cuatro elementos.

Ahora, para continuar, sólo hay que distinguir entre las dos posibilidades de un grupo de orden $4$ . Es isomorfo a $\mathbb Z_4$ o a $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ . Existen cuatro posibilidades de generadores de $Aut(\mathbb Z_8)$ para que puedas probar cada una de ellas y ver si genera todo el grupo o no. Rápidamente encontrarás la respuesta correcta, comprobando el resultado.