Evaluar: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n k^n}$

Question

Cómo evaluar esta serie para $k > 1$? $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n k^n}$$

Para $k = 2$, traté de evaluar $\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \int_{1}^{2} x^{-(n+1)}dx = \int_{1}^{2} \sum_{n = 0}^\infty x^{-(n+1)}dx = \int_1^{2}\frac{1}{x(x-1)}dx$ $\displaystyle = \int_{1}^{2}\frac{1}{x-1}dx - \int_{1}^{2}\frac 1 x dx = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n2^n}\right)$

Pero tanto en $\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{1}{x-1}dx$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1n$ diverge. La respuesta es $\ln 2$, estos son divergentes en términos de igualdad?

Answer 1

$$\frac{1}{k} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{nk^{n-1}} =\frac{1}{k} \sum_{n=1}^{\infty} \int^1_0 (x/k)^{n-1} dx=\frac{1}{k} \int^1_0 \sum_{n=1}^{\infty} (x/k)^{n-1} dx = \int^1_0 \frac{1}{k-x} dx= \log \left( \frac{k}{k-1} \right).$$

Answer 2

Sugerencia: para$0<x<1$, $\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$

Ahora integramos con respecto a $x$, y, a continuación, deje $x=\frac{1}{k}$