$\exp(A+B)$ y panadero-Campbell-Hausdorff

Question

Hace un par de años, me hizo una investigación en la mecánica cuántica, que trata específicamente con la generalizada desplazamiento de los operadores. En tales reflexiones, BCH luces (u obtiene, dependiendo de su punto de vista) el camino. Una pregunta que me llamó la atención el día de hoy fue: qué $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$ mantener si y sólo si $A$ $B$ viaje? Claramente, si lo hacen conmutar esto es cierto, pero no he visto nada detallando la dirección opuesta. Dada la complejidad de BCH, yo estaría inclinado a pensar que no es fácil de demostrar si es cierto. He pensado por mi cuenta, pero no he sido capaz de llegar a cualquier tipo de conclusión, de una manera o de la otra.

Answer 1

Tomar $A=\begin{pmatrix}i\pi & 0 \\ 0 & - i\pi\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}i\pi & 1 \\ 0 & - i\pi\end{pmatrix}$. Entonces $A$ $B$ do no viaje y $\exp(A)\,\exp(B)=\exp(A+B)$.

Answer 2

La prueba es que en realidad no es tan difícil de seguir. Concedido, hay pruebas que requieren una gran cantidad de Matemáticas para seguir la prueba. Sin embargo, hay una excelente prueba dada por Eichler y se explica en el Stillwell del excelente libro, Ingenua Mentira Teoría, que puede ser encontrado aquí:

Ingenua Mentira de la Teoría Stillwell

Lo que usted está buscando comienza en la página 152. Sin embargo, recomiendo el libro entero como una lectura. Él es un excelente autor y el libro es un buen nivel de pregrado enfoque Mentira Grupos y Álgebras.

Answer 3

Acabo de leer este archivo.

El hecho de que $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$ no es equivalente a $AB=BA$ es bien conocido.

Más interesante (y difícil) es: al$n\geq 3$, ¿cuál es el conjunto de $\{A,B\in M_n(\mathbb{C})|\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)\}$. Ya que nadie sabe la respuesta, esta pregunta parece ser un buen tema de investigación.