Para cada una de las $ \ n \in \mathbb{N}^* = \{ 1,2,3,4,... \}$, vamos $ \ S_n = \big\{ (t,1-nt) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leqslant t \leqslant 1/n \big\}$, $Y_n = \big\{ (t,-nt-1) \in \mathbb{R}^2 : -1/n \leqslant t \leqslant 0 \big\}$, $\displaystyle S = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} S_n$, $\displaystyle Y = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} Y_n \ $ y $ \ Z = \{ 0 \} \times [-1,1]$. Considere la posibilidad de $ \ X = Y \cup Z \cup S$, con el subespacio de la topología heredada de la euclidiana usual de la topología de $ \, \mathbb{R}^2$. He adjuntado una foto de el espacio de abajo.
Mis preguntas son
$(1) \ $ Es este espacio de $X$ contráctiles? Por qué? ¿Cómo puedo demostrarlo?
$(2) \ $ ¿Cómo puedo calcular el homotopy grupos de $X$?
Creo que la respuesta para $(1)$ es no. He tratado de demostrar por contradicción. Supongo que es como es. Por lo tanto, tenemos homotopy equivalencias $ \ f : X \to * \ $ $ \ g: * \to X \ $ tal que $ \ f \circ g \sim id_* \ $$ \ g \circ f \sim id_X \, $. Entonces, existe una homotopy $ \ H: X \times I \to X \ $ tal que $ \ H(x,0) = x \ $ y $ \ H(x,1) = g \big( f(x) \big),$ $\forall x \in X$. Creo que esto va a dejar que me contradicción, pero estoy atascado.
Para $(2)$ es incluso peor. He tratado de visualizar la imagen de algunos generales mapa continuo $ \ f : S^n \to X \ $$X$, pero no veo nada.
Cualquier ayuda será muy apreciable.
