Construcción de un triángulo

Question

Necesito construir un triángulo con dado información: $c = 6$, $h = 4$ y $\alpha - \beta = 30º$.

Voy a poner resultado aproximado para cualquier aclaración.

Answer 1

Afirmo que el triángulo $\Delta ABC'$ en el diagrama de abajo es el deseado triángulo, y puede ser construido geométricamente sin referencia a la trigonometría. Vea a continuación el diagrama para una descripción de la construcción.

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Construcción

El objetivo principal va a ser para construir un triángulo similar a la deseada, ya que desde allí es fácil de escalar a tamaño.

Comience por la construcción de una $4\times 6$ rectángulo $ABCD$, $A$ en el inferior izquierdo de la esquina y $|AB|=6.$ entonces Podemos construir un triángulo equilátero $CDE$ con el vértice $E$ elegido a estar por debajo de $CD$ (y, de hecho, por debajo de $AB$). Dibujar un círculo $S$ centrada en $E$ que pasa a través de ambos $C$$D$.

Deje $M$ ser el punto medio de la $CD$, y la etiqueta $A'$,$B'$ como las intersecciones de la circunferencia $S$ y las líneas $AM$, $BM$ respectivamente. A partir de esto, podemos construir los triángulos $A'B'D$, $A'B'C$ que son simétricas a través de la línea de $EM$.

Ahora argumentan que estos dos triángulos son, hasta la reflexión, similar a la deseada. Considerar el rectángulo $R$ formado con $A'B'$ como la horizontal inferior del segmento y con el segmento superior de la línea de $CD$. Desde los cuatro vértices se encuentran a lo largo de las líneas de pasar a través de $M$ y los cuatro vértices de $ABCD$, llegamos a la conclusión de que $R$ $ABCD$ son cifras similares. Por lo tanto el ancho y la altura del rectángulo---y por otra parte los de los dos triángulos que se inscriben dentro de ellos---están en la relación de $6:4$ como se desee.

Ahora, observa que el $A'$ está en el círculo $S$ $\angle CA'D$ es un ángulo inscrito el círculo de $S$. Por el teorema del ángulo inscrito, su ángulo debe ser la mitad de la $\angle CED$---pero $CED$ es un triángulo equilátero por la construcción. Por lo tanto $\angle CED=60^\circ$$\angle CA'D=30^\circ$. Pero esto es idéntico a $\angle B'A'D-\angle B'A'C$. Así, se han construido dos triángulos $A'B'C$ $A'B'D$ que son similares (arriba a la reflexión) a la deseada triángulo.

A partir de aquí, todo lo que tenemos que hacer es cambiar la escala de uno de estos triángulos a tener la anchura $6$. Esto se puede hacer mediante el dibujo de una línea que pasa a través de $A$ y en paralelo a $A'D$. Este se cruza con $CD$ a un punto de $C'$. Observar, finalmente, que $\Delta ABC'$ $\Delta A'B'C'$ son triángulos semejantes a través del punto de $M$; desde $|AB|=6$, llegamos a la conclusión de que $\Delta ABC'$ es el triángulo que nos propusimos construir.

Answer 2

He sido incapaz de encontrar una sencilla construcción geométrica, pero algebraica de uno no es completamente indignante.

En el diagrama, $\tan \alpha = \frac{4}{x}$$\tan \beta = \frac{4}{{6 - x}}$. Desde su deseado $\alpha - \beta = {30^ \circ }$ tenemos

$$\frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }} = \tan {30^ \circ }$$

$$\frac{{\frac{4}{x} - \frac{4}{{6 - x}}}}{{1 + \frac{4}{x} \cdot \frac{4}{{6 - x}}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$$

$$\frac{{8x - 24}}{{{x^2} - 6x - 16}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$$

$${x^2} + ( - 6 - 8\sqrt 3 )x + ( - 16 + 24\sqrt 3 ) = 0$$

$$x = \frac{{6 + 8\sqrt 3 \pm \sqrt {{{( - 6 - 8\sqrt 3 )}^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 16 + 24\sqrt 3 )} }}{{2 \cdot 1}}$$

$$x = 3 + 4\sqrt 3 - \sqrt {73} $$

(El valor en uso $+$ $\pm$ es claramente demasiado grande).

Que el pasado no es muy difícil de construir, y una vez que el triángulo es trivial para la construcción. Déjeme saber si usted necesita más detalles sobre la construcción de $x$. ($\sqrt {73}$ puede ser la hipotenusa de un triángulo con lados de $8$$3$.)

Por el camino, los valores aproximados que tenemos es $x \approx 1.384199$, $\alpha \approx 70.911828^ \circ $, y $\beta \approx 40.911828^ \circ $.

AÑADIDO POSTERIOR:

Aquí está la solución general dada $c$$h$$\alpha - \beta = {30^ \circ }$:

$$x = \frac{c}{2} + h\sqrt 3 - \sqrt {{{\left( {\frac{c}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2h} \right)}^2}} $$

Salí de la expresión en la raíz cuadrada como lo es para dejar claro cómo se construye como una hipotenusa.

Answer 3

Lo único que puedo pensar de aquí es de alguna manera conseguir $\alpha-\beta$ en el cuadro. Una forma sería reflejar el triángulo sobre la línea perpendicular que pasa por el punto medio de AB como se muestra aquí:

Así el punto C' es el reflejo del punto C. Entonces los ángulos CAC' y CBC' son ambos igualan a $\alpha-\beta=30$.

¿No sé si esto ayuda?

Answer 4

El triángulo puede ser construido con la regla (regla) y la brújula si se establece la unidad de intervalo (o mensurable de longitud). Utilizamos la figura del autor, en la que $ D $ a ser el punto (aún desconocido) de intersección de la altura de la $ CD $ $ AB ; MN $ a ser la línea paralela a $ AB $ a pie $ h $ a partir de ella. También nos hemos fijado $ x = |DB|, \lambda = \sqrt 3/3 $ .

1 punto en el plano de la unidad de celosía, donde ponemos los puntos de $ A, B. $

2 Construir el sistema de ecuaciones para $ x $$ y = tg (\beta) $ :

$ h=xy, h=(c-x)(y+\lambda)/(1- y \lambda). $

Transformar el sistema a una ecuación con respecto a $ y $.

3 obtenemos la solución de la ecuación en la forma:

$ 2(c+ h \lambda) y= (2h-c \lambda) + \sqrt {((2h-h \lambda)^2+ 4 h \lambda (c+ h \lambda)} $.

4 Crear en el plano de los segmentos de longitudes:

$ c, h, \lambda, c+ h \lambda, 4 h \lambda, \sqrt {4 h \lambda (c+ h \lambda)},..., z=_{def} 2(c+ h \lambda) y.$

5 Marca en la línea de $ AB $ punto $E$, de modo que $ | EB | = 2(c+ h \lambda). $

6 Construir en el $ E $-punto perpendicular a $ EB $ (superior) el segmento de $ EF $ de la longitud de la $ z $.

7 Encontrar el punto de intersección de las líneas de $ FB $$ MN $ . Este punto es $ C $ -punto.

Así, un triángulo se construye.

Notas.

1. La construcción de los tramos de la n. 4 bases en la construcción correspondientes de los triángulos rectángulos. Por ejemplo, la longitud de los segmentos $ \sqrt{uv} $ puede ser obtenida mediante la construcción de un triángulo rectángulo: $ (u + v) / 2 $ - hipotenusa, $ (u-v) / 2, \sqrt {uv} $ - cathets. También hay otras maneras interesantes de "geométrica" cálculos: $ u ^ 2, \sqrt u, uv ... $

2. Cada punto edificable usando la regla y el compás pueden ser construidos usando la brújula solo (Wikipedia).

Tal vez hay una manera más simple algoritmo de cálculos geométricos para este problema.