condición suficiente para un polinomio que tenga raíces en $[0,1]$

Question

La pregunta es para comprobar :

cuál de las siguientes es condición suficiente para que un polinomio

$f(x)=a_0 +a_1x+a_2x^2+\dots +a_nx^n\in \mathbb{R}[x] $ que tiene una raíz en $[0,1]$.

• $a_0 <0$ $a_0+a_1+a_2+\dots +a_n >0$
• $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\dots +\frac{a_n}{n+1}=0$
• $\frac{a_0}{1.2}+\frac{a_1}{2.3}+\dots+\frac{a_n}{(n+1).(n+2)} =0$

Primero de todo he intentado considerando el grado $1$ polinomio y, a continuación, grado $2$ polinomio y, a continuación, grado $3$ polnomial con la esperanza de ver algunos patern, pero no podían hacerlo.

Y entonces, vi que $a_0= f(0)$$f(1)=a_0+a_1+a_2+\dots +a_n$.

Por lo tanto, si $f(0)<0$ $f(1)>0$ sería suficiente para $f$ a root en $[0,1]$

En el primer caso tenemos a $a_0 <0$ es decir, $f(0)<0$$f(1)>1>0$.

Así, la primera condición que debe ser lo que implica la existencia de una raíz en $[0,1]$

para el segundo caso, vamos a $f(x)$ ser un polinomio lineal es decir, $f(x)=a_0+a_1x$

Ahora, $a_0+\frac{a_1}{2}=0$ implica $0\leq x=\frac{-a_0}{a_1}=\frac{1}{2}< 1$ es Así, esto podría ser, posiblemente, dar existencia en caso de lineal de los polinomios.

Ahora, $\frac{a_0}{1.2}+\frac{a_1}{2.3}=0$implica $0\leq x=\frac{-a_0}{a_1}=\frac{1}{3}< 1$ es Así, esto podría ser, posiblemente, dar existencia en caso de lineal de los polinomios.

Así, por lineal de los polinomios de todas las tres condiciones implica la existencia de una raíz en $[0,1]$.

Pero, supongo que esto no puede ser generalizado para el más alto grado del polinomio.

Creo que debe haber algún tipo de "genial idea" de que la comprobación de las raíces y todo.

Estoy seguro acerca del primer caso, pero no tengo idea de cómo considerar los otros dos casos.

sírvanse proporcionar algunos consejos para seguir adelante.

Answer 1

Para el segundo caso considere el polinomio $$ F (x) = a_0x + \frac12a_1x^2 + \frac13a_2x^3 + \cdots + \frac1na_ {n-1} x ^ {n} + a_nx \frac1 {n+1} ^ {n+1} $$ y entonces uso del teorema de Rolle.

Para el tercer caso considerar algún otro polinomio (¿qué?) y luego utilice dos veces Rolle de teorema.

Answer 2

Sugerencias:

• $a_0 <0$ $a_0+a_1+a_2+\dots +a_n >0$ significa que el $f(0)<0$ y $f(1)>0$.

• $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\dots +\frac{a_n}{n+1}=0$ significa que el $F(1)=0$, donde $F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$. Tenga en cuenta $F'=f$ y $F(0)=0$ y memoria Rolle's teorema.

¿Puedes pensar de lo que la tercera condición significa en este contexto?

Answer 3

para el tercer caso consideramos el polinomio

$F(x)=\frac{a_0}{1.2}x^2+\frac{a_1}{2.3}x^3+\dots + \frac{a_n}{(n+1)(n+2)}a_nx^{n+2}$

ahora suponemos tercera condición, es decir, $\frac{a_0}{1.2}+\frac{a_1}{2.3}+\dots+\frac{a_n}{(n+1).(n+2)} =0$

En ese caso, para el polinomio $F(x)$ entonces tendríamos $F(0)=0$ $F(1)=0$ (con la condición dada)

Así, por el teorema de rolle tenemos una raíz para $F'(x)$ $[0,1]$

es decir, tenemos una raíz para $F'(x)=\frac{a_0}{1}x+\frac{a_1}{2}x^2+\dots+ \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ $[0,1]$ decir a $c\in [0,1]$

Ahora, para $F'(x)$ tenemos dos ceros.. es decir, $F'(0)=0$ $F'(c)=0$

Ahora, voy a utilizar el teorema de rolle, de nuevo yo.e, he raíz de $F''$ $[0,c]$

donde $F''(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n$

para concluir, yo ahora establecer $F''(x)=f(x)$ y con la condición dada,

tengo una raíz en $[0,c] $ algunos $c\in [0,1]$ particularmente, tiene un cero en $[0,1]$

es decir, $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n$ tiene una raíz en $[0,1]$

A conlcude, con la respuesta anterior y en el anterior la observación de segundo caso,

$f(x)=a_0 +a_1x+a_2x^2+\dots +a_nx^n\in \mathbb{R}[x] $ tienen una raíz en $[0,1]$ en los tres casos siguientes:

• $a_0 <0$ $a_0+a_1+a_2+\dots +a_n >0$
• $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\dots +\frac{a_n}{n+1}=0$
• $\frac{a_0}{1.2}+\frac{a_1}{2.3}+\dots+\frac{a_n}{(n+1).(n+2)} =0$

P. S : Esto es completamente por el bien de mi referencia y todo el crédito va para arriba dos usuarios que me han ayudado a ir a través de esta idea.