Matemáticas mentales: Encontrar raíces cuadradas con 1 decimal

Question

Tengo 2 preguntas aquí.

• ¿Cuál es la forma más eficaz y sencilla manera de calcular raíces cuadradas en la cabeza con una precisión de 1 punto decimal? Esto tendría que trabajar con, al menos, de dos dígitos, no cuadrados perfectos y tendría que ser factible mentalmente.

  • Cómo sería el método de trabajo?

• Es un decimal exacto suficiente para todas las intenciones y propósitos que usted puede venir a través en promedio en matemáticas? Cuando usted necesita más precisión?

Tengo curiosidad porque muchas veces en la escuela, me gustaría pasar tiempo con lápiz y papel, trabajando aproximaciones de no-cuadrados perfectos, sería de gran ayuda si me podía conseguir una aproximación más rápido.

Gracias!

Edit: por Favor, asegúrese de que el método es fácil de entender, y hacer mentalmente para un estudiante en los grados 8 y superior. No quiero ser sólo la memorización de fórmulas sin la comprensión de cómo funcionan, creo que sería beneficioso para cualquier persona que navega por esta cuestión.

Answer 1

Sólo haría buena antigua expansión de la serie Taylor hasta el término lineal. $$ f (x + \Delta x) \approx f (x) + f \Delta x $$ así, en el caso de raíces cuadradas $$ \sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt x + \frac {\Delta x} {2\sqrt x} $$ $x$ - Dónde está el cuadrado perfecto más cercano. Obviamente, el error podría ser enorme si $\Delta x$ es grande.

Por ejemplo, $$ \sqrt{66} = \sqrt{64 + 2} \approx \sqrt{64} + \frac 2 {2 \sqrt{64}} = 8 + \frac 18 = 8.125 $$ mientras que $\sqrt{66} \approx 8.12403840463596 \ldots$

Answer 2

Usted debe saber todos los cuadrados perfectos hasta $100$ y el hecho de que $(n+\frac 12)^2=n(n+1)+\frac 14$. Entonces su mejor amigo es $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac x2$ $x\ll 1$ dicen que desea la raíz cuadrada de $72$. Se podría decir $72=8*9$, así que la raíz cuadrada de $72.25$ $8.5$ el cuarto impar no importa. Si desea la raíz cuadrada de $68$, tienes que $68=64(1+\frac 1{16})$, $\sqrt{68}\approx 8(1+\frac 1{32})=8.25$ como la aproximación es un poco alto, esto redondea hasta $8.2$, pero es estrecha.