Considere el siguiente problema:
Probar o refutar que si $n\in \mathbb{N}$, $n$ es el primer fib $$(n-1)!+n$$ es primo.
Si $n$ es compuesto y mayor que $1$, $n$ tiene un divisor menos de $n-1$, por lo $(n-1)!$ $n$ tienen un factor común. Por lo tanto, "$\Leftarrow$ " es cierto. A prueba la otra dirección se puede considerar el problema más general:
Deje $n\in\mathbb{N}$. Consideremos el conjunto $$C(n)=\{m\in\mathbb{N}:n+m\text{ is composite}\}.$$ How we can characterize the elements of $C(n)$?
La respuesta ideal sería describir todos los elementos en $C(n)$ en términos de sólo $n$. Pero, ¿es posible? Me han hecho esta pregunta a mis profesores y simplemente sonreír (no es divertido para mí, quiero decir, es una pregunta seria, ¿o no?) y, a continuación, decir $$C(n)=\{jk-n:j,k\in\mathbb{N}\}.$$, Pero esto es obvio y no me ayudan. Yo digo todo esto de la historia, ya quiero saber qué piensas acerca de ello, y si existe literatura que menciona algo parecido a este problema.
Como una primera aproximación para solucionar esto, se puede comenzar por definir por $n,p\in\mathbb{N}$: $$A(n,p)= \{ m\in\mathbb{N}:n+m\equiv 0\pmod{p} \}.$$ Después de algunas observaciones, podemos demostrar que $$A(n,p)=\{(\lceil n/p \rceil + k)p - n:k\in \mathbb{N}\}$$ y, a continuación, $A(n,p)$ es el rango de una función de la forma $f_{n,p}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. A partir de esta $$C(n)=\bigcup_{p=2}^\infty A(n,p),$$ Pero esta todavía lejos de una caracterización en términos de $n$. ¿Cuál crees que es la mejor que podemos hacer o lo mejor que podemos esperar?
Edit: realmente quiero saber qué piensa sobre el problema de caracterizar los elementos de $C(n)$ o $\mathbb{N}\setminus C(n)$. Las opiniones, sugerencias, correcciones, comentarios y/o referencias son muy apreciados.
