Evaluar la integral $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^3x}{\sin^3x+\cos^3x}dx$

Question

Evaluar la integral $$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^3x}{\sin^3x+\cos^3x}\, dx$ $

¿Cómo puedo evaluar éste? No encontrar ningún sustituto inteligente y la integración por las piezas no llevan (creo) en cualquier lugar.

¿Cualquier directriz por favor?

Answer 1

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx,$ $

Si $$ \begin{eqnarray}I &=& \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx} \,dx\\ &=& \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^n\left(\frac\pi2-x\right)}{\sin^n\left(\frac\pi2-x\right)+\cos^n\left(\frac\pi2-x\right)}\, dx\\ &=& \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^nx}{\cos^nx+\sin^nx}\, dx \end{eqnarray} $$

$$\implies I+I=\int_0^{\frac\pi2}dx$$ assuming $\sin^NX+\cos^nx\ne0$ which is true as $0\le x\le \frac\pi2 $

Generalización : $$\text{If }J=\int_a^b\frac{g(x)}{g(x)+g(a+b-x)}dx, J=\int_a^b\frac{g(a+b-x)}{g(x)+g(a+b-x)}dx$ $

$$\implies J+J=\int_a^b dx$$ provided $g # (x) + g (a + b-x) \ne0$

Si $a=0,b=\frac\pi2$ y $g(x)=h(\sin x),$

$g(\frac\pi2+0-x)=h(\sin(\frac\pi2+0-x))=h(\cos x)$

Así, $J$ se convierte en $$\int_0^{\frac\pi2}\frac{h(\sin x)}{h(\sin x)+h(\cos x)}dx$ $

Answer 2

Simetría! Esto es igual a la integral con $\cos^3 x$ en la parte superior.

Si eso no es obvia de la geometría, hacer el cambio de variable $u=\pi/2-x$.

Añadir a ellos, se obtiene la integral de $1$. Así que nuestra integral es $\pi/4$.

Answer 3

Sugerencia: si $$I=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^3x}{\sin^3x+\cos^3x}\, dx$ $ y $$J=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^3x}{\sin^3x+\cos^3x}\, dx$ $

Entonces considere $I+J$ y el efecto de la sustitución $y=\frac{\pi}2-x$ en el % integral $I$.