¿Cuándo se puede recuperar un colector cuando se adjunta un $2n$ -célula a $S^n$ ?

Question

Tengo una pregunta relacionada con este . En mi respuesta iba a intentar decir algo sobre las posibles variedades que podrían surgir de esta manera, es decir, como conos de mapeo de elementos de $\pi_{2n-1}(S^n)$ . Ciertamente, no todos ellos serán colectores. Al principio me pareció que debería haber una razón por la que tendríamos que utilizar un generador de homotopía sin torsión si queremos un colector (en cuyo caso podríamos apelar al teorema de Serre de que la única parte sin torsión de los grupos de homotopía de las esferas es $\pi_n(S^n)=\mathbb{Z}$ y $\pi_{4n-1}(S^{2n})=\mathbb{Z}$ ), pero luego me di cuenta de que no se me ocurría ninguna razón para que eso fuera cierto. También esperaba que el invariante de Hopf entrara en escena, ya que es una herramienta bastante obvia a nuestra disposición, pero tampoco pude llegar a ninguna parte con eso... y creo que en este punto estoy más o menos sin trucos. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Creo que esto está relacionado con el problema de la invariante de Hopf. Sea $X = S^n \cup_f B^{2n}$ .

El mapa adjunto de $B^{2n}$ es un mapa $f$ de $S^{2n-1}$ a $S^n$ . Creo que una forma de pensar en el invariante de Hopf de este mapa es la siguiente.

Dejemos que $x\in H^n(X)$ . Entonces $x^2 = k y$ donde $y$ genera $H^{2n}(X)$ . El número $k$ es el invariante de Hopf.

Para que $X$ para ser una variedad, debe satisfacer la dualidad de Poincare (siempre que $n>1$ - si $n=1$ pueden ocurrir cosas diferentes), lo que implica que $k = \pm 1$ . Pero Adams ha demostrado que sólo se puede tener el invariante 1 de Hopf cuando $n = 2, 4, 8$ , obteniendo algo homotópico equivalente a $\mathbb{C}P^2$ , $\mathbb{H} P^2$ o $\mathbb{O}P^2$ .

Editar : Como ha señalado Denis Gorodkov, (comunicado por G. Sassatelli), esta última frase es falsa. En el caso de $\mathbb{C}P^n$ es cierto como cualquier colector con el anillo de cohomología de $\mathbb{C}P^n$ es homotópicamente equivalente a ella. Pero los anillos de cohomología de $\mathbb{H}P^2$ y $\mathbb{O}P^2$ no determinan el tipo de homotopía - ver los comentarios.

Fin de la edición

El $n=1$ caso, estás uniendo un disco a un círculo y obteniendo un colector. En este caso, ya que $\pi_1(X)$ puede ser no trivial, no se puede utilizar necesariamente la dualidad de Poincare. Sin embargo, por un simple análisis, la única variedad a la que esto puede dar lugar es $\mathbb{R}P^2$ .

Editar Si se quiere evitar los casos ( $n = 1$ vs $n > 1$ ) entonces se puede trabajar con la cohomología con $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ coeficientes en su lugar.