Expresar un entero como suma de cuatro cuadrados

Question

Esto es una especie de seguimiento a la pregunta que publiqué aquí sobre la expresión de números enteros como la suma de dos cuadrados. ¿Existe un método general similar para expresar los enteros como la suma de cuatro cuadrados? Creo que el Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange afirma que todos los números enteros positivos son expresables como la suma de cuatro cuadrados de números enteros, pero cómo se encuentran estos números. Como ejemplo, consideremos el valor $1638$ . ¿Cómo podemos encontrar los cuatro cuadrados?

Answer 1

Similar a la Identidad bicuadrada Brahmagupta-Fibonacci . Euler tiene un identidad de los cuatro cuadrados que implica la suma de 4 cuadrados:

$$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) =\\ \quad(a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4)^2 + (a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2 +(a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2)^2 + (a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1)^2$$

Factor $1638$ como productos de cualquier factor pequeño que sepas representar como suma de 4 cuadrados. Repite la aplicación de la fórmula te permitirá representar $1638$ como suma de 4 cuadrados.

Por ejemplo, digamos que hemos factorizado $1638$ como $2\cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13$ tenemos:

$$\begin{align} & 2\cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13\\ = & (1^2+1^2+0^2+0^2)(1^2+1^2+1^2+0^2)^2(2^2+1^2+1^2+1^2)(3^2+2^2+0^2+0^2)\\ = & (0^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2)(1^2+1^2+1^2+0^2)(2^2+1^2+1^2+1^2)(3^2+2^2+0^2+0^2)\\ = & ((-3)^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2)(2^2+1^2+1^2+1^2)(3^2+2^2+0^2+0^2)\\ = & ((-11)^2+(-1)^2+2^2 + 0^2)(3^2+2^2+0^2+0^2)\\ = & ((-31)^2 + (-25)^2 + 6^2 + 4^2)\\ \end{align}$$

Esto le da una representación no trivial de $1638$ como $31^2 + 25^2 + 6^2 + 4^2$ .

En general, hay muchas representaciones de un número como suma de 4 cuadrados. Existe un teorema:

El número total de representaciones de un entero positivo $n$ como la suma de cuatro cuadrados, las representaciones que difieren sólo en el orden y el signo que se cuentan como distintas, es ocho veces la suma de los divisores de $n$ que no son múltiplos de $4$ .

La representación anterior es sólo $1$ de $8 \sum_{d\mid 1638, 4 \nmid d} d = 34944$ formas de representar $1638$ como suma de 4 cuadrados.

Answer 2

Al igual que los enteros de Gauss son un método moderno para demostrar que cada primo no es congruente con $3$ (mod $4$ ) es una suma de dos cuadrados ( ya que $\mathbb{Z}[i]$ es un dominio euclidiano), un método similar funciona para los llamados cuaterniones de Hurwitz $\mathbb{H} = \{ \frac{a+bi + cj +dk}{2}: a,b,c,d \in \mathbb{Z}, a \equiv b \equiv c \equiv d ({\rm mod} 2) \}$ . $ \mathbb{H}$ no es un anillo conmutativo, pero se comporta lo suficientemente como un anillo euclidiano como para que una prueba similar demuestre que todo primo $p$ es una suma de $4$ cuadrados enteros. Se puede encontrar una demostración completa en "Topics in Algebra" de I.N. Herstein, pero aquí hay un resumen: dado cualquier primo impar $p \in \mathbb{N}$ podemos expresar $-1$ como una suma de dos cuadrados en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Esto significa que hay números enteros $a,b$ tal que $p |(a^{2}+b^{2}+1).$ Esto significa que $p$ no es un elemento irreducible en $\mathbb{H}$ y esto lleva a que $p = x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ para los enteros $x,y,z,w$ . Una vez que sabemos que todo primo tiene una expresión de este tipo, se deduce (como se ha señalado en otras respuestas y comentarios) que todo número entero positivo es una suma de $4$ cuadrados enteros. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, en la práctica, ésta puede no ser la forma más eficiente de expresar un número entero positivo dado como una suma de $4$ cuadrados enteros.

Answer 3

$1638=2\cdot3^2\cdot7\cdot13=(1^2+1^2)3^2(2^2+1^2+1^2+1^2)(3^2+2^2)$ Ahora utiliza tu técnica para llevar el producto de dos sumas de dos cuadrados a una suma de dos cuadrados.

Answer 4

Una pista: Utilizando la misma condición que la pregunta anterior. Si puedes expresar los dos números que suman 1638 como una suma de dos cuadrados. Has terminado.:)

Answer 5

Esta fórmula parece errónea. Pruebe a dejar que $a_1=b_1$ , $a_2=b_2$ , $a_3=b_3$ , $a_4=a_4$ . El resultado debería ser $(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)$ .

La identidad de cuatro cuadrados de Euler dice que el producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de cuatro cuadrados, es a su vez una suma de cuatro cuadrados. En concreto:

$$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)= (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 + (a_1 b_3 - a_2 b_4 - a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 - a_4 b_1)^2$$