Estoy tratando de resolver el Ejercicio 3 a) dado aquí . El problema se plantea:
Dejemos que $\mathcal{M}$ sea un infinito $\sigma$ -álgebra. Demostrar que $\mathcal{M}$ contiene una secuencia infinita de conjuntos no vacíos y disjuntos conjuntos. (Sugerencia: si $\mathcal{M}$ contiene una secuencia infinita de conjuntos estrictamente anidados, entonces hemos terminado, así que supongamos que no existe tal secuencia existe. A continuación, utilice esta suposición para encontrar un conjunto no vacío en $\mathcal{M}$ sin subconjuntos propios no vacíos en $\mathcal{M}$ . Por último, demuestre que esto se puede hacer infinitas veces).
Esta es mi idea: Digamos que $\mathcal{M}$ es $\sigma$ -en el conjunto $X$ . Si $\mathcal{M}$ no contiene una secuencia infinita de conjuntos estrictamente anidados, entonces dado cualquier $A\in\mathcal{M}$ cada cadena estricta que comienza con $A$ debe terminar después de un tiempo finito: es decir $A\subsetneq E_{1}\subsetneq E_{2}\subsetneq … \subsetneq E_{k}$ y no hay un conjunto $X\neq B\in\mathcal{M}$ tal que $E_{k}\subsetneq B$ . Pero entonces el complemento $E_k^{c}$ no tiene subconjuntos propios no vacíos en $\mathcal{M}$ . Pero tengo problemas para demostrar que el proceso puede repetirse infinitas veces.
Llevo todo el día atascado con esto y me está volviendo loco. ¡Gracias por la ayuda!
