Dos soluciones diferentes a la integral

Question

Dada la integral muy simple

\begin{equation} \int -\frac{1}{2x} dx \end{equation}

La solución obvia es

\begin{equation} \int -\frac{1}{2x} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx = -\frac{1}{2} \ln{|x|} + C \end{equation}

Sin embargo, por la siguiente regla de integración \begin{equation} \int \frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a} \ln{|ax + b|} + C \end{equation}

se obtiene la siguiente solución \begin{equation} \int -\frac{1}{2x} dx = -\frac{1}{2}\ln{|-2x|} + C \end{equation}

¿Por qué son diferentes estas soluciones? ¿Cuál es la correcta?

La segunda solución puede simplificarse \begin{equation} -\frac{1}{2}\ln{|-2x|} + C = -\frac{1}{2}\ln{|-2|} -\frac{1}{2}\ln{|x|} + C= -\ln{\frac{1}{\sqrt{2}}} - \frac{1}{2}\ln{|x|} + C \end{equation} pero siguen siendo diferentes.

Answer 1

Ambas son correctas: sólo difieren en cuanto a su constantes de integración .

$$\begin{align} -\frac{1}{2}\ln|-2x| + \color{red}{C} &= -\frac{1}{2}(\ln 2 + \ln |x|) + \color{red}{ C} \\&= -\frac{1}{2}\ln |x| + \color{red}{(C - \frac{1}{2} \ln 2)}\\ &= -\frac{1}{2}\ln |x| + \color{red}{K} \end{align} $$

$C \neq K\;$ pero $\;C, K\;$ son constantes.

CONSEJO : Siempre se pueden comprobar dos soluciones aparentemente distintas de una integral diferenciando cada una de ellas ; si las derivadas respectivas son iguales al integrando original, entonces puedes concluir que las dos soluciones aparentemente diferentes son, de hecho, soluciones que difieren sólo en sus constantes de integración.

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EDIT: Casi lo has conseguido (al obtener la constante de integración ajustada), pero : $$-\frac{1}{2}\ln{|-2|} + C\; \ne \;-\ln{\frac{1}{\sqrt{2}}} + C$$ Más bien, puesto que $\;|-2| \;= \;2,\;$ tenemos $$-\frac{1}{2}\ln{|-2|}+C \; =\; -\frac{1}{2}\ln 2 + C\;=\; +\ln{\frac{1}{\sqrt{2}}} + C = K$$

Lo importante es que todos $K$ es un término constante.

Answer 2

Ambos son correctos.

$$ -\frac{1}{2}\ln|-2x| + C = -\frac{1}{2}(\ln 2 + \ln |x|) + C = -\frac{1}{2}\ln |x| + (C - \frac{1}{2} \ln 2) $$

La constante de integración es lo que "difiere" aquí.

Answer 3

Ambos resultados son correctos. Tenga en cuenta que no hay necesidad de que dos constantes $C$ en el primer resultado y $C$ en el segundo son los mismos. Aquí tenemos $C_1=C_2\times0.5\ln|2|$ .