¿Por qué el doble factorial $(-1)!! = 1$, por definición?

Question

Por definición, el doble factorial $(-1)!! = 1$. Cómo puede ser racionalizado?

Answer 1

Mirando la expresión de una doble factorial en términos de ordinario factoriales, $$(2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^{k} k!}$$ y establecimiento $k=0$, $$(0-1)!! = \frac{0!}{2^0 0!} = 1.$$ De esta forma se mantiene la coherencia con la convención de que las $0! = 1$.

Answer 2

Este es un "doble factorial":

El producto de todos los enteros impares hasta alguna extraña entero positivo n es a menudo llamado el doble factorial de n (a pesar de que solo involucra a cerca de la mitad de los factores de la ordinaria factorial, y su valor es por lo tanto más cercano a la raíz cuadrada de la factorial). Se denota por n!!

Desde el enlace de arriba, tenemos que por extraño $n$ no es un porcentaje ($k\in \mathbb{Z}$tal que $n = 2k-1$, lo $$n!! = (2k-1)!! = \dfrac{(2k)!}{2^k k!}.$$

$$\text{At}\;k = 0,\;\;\;(2\cdot 0 - 1)!! = (-1)!! = \frac{0!}{2^0 0!} = \frac{1}{1\cdot 1} = 1.$$

Recordemos que $0! = 1$, por definición (como la representación del "vacío de producto").

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Incluso para $n = 2k\,$ $k \in \mathbb{Z}$: $$n\,!\,! = (2k)\,!\,! \;= \;2^k\, k\,!$$

Nota: en ambos, los pares y los impares caso, $k$ es generalmente llevado a ser $k \ge 1$.

Answer 3

Una respuesta es la de mantener que $$ n!!=\frac{(n+2)!!}{n+2} $$ para todos los $n$. En este caso, debemos tener $$ (-1)!!=\frac{(-1+2)!!}{(-1+2)}=\frac{1!!}{1}=1. $$