Dividir un triángulo en 2 igualdad de polígonos de área

Question

A través de un punto fuera de un triángulo, el uso de regla y compás para construir una línea que divide el triángulo en 2 áreas iguales. (Este es de mi amigo el reto era tan difícil, no sé por dónde empezar, por favor me ayude)

Si usted no entiende mi pregunta (buenos inglés aquí :D): http://i.imgur.com/b1Qto.png

D es arbitraria punto dado fuera de ABC

Answer 1

OK, aquí es una construcción geométrica. Es bastante largo, así que voy a omitir muchos detalles. También, hay una suposición: supongo que la línea correcta de hecho se cruzan los segmentos de $BA$$BC$, igual que se hace en el diagrama en la pregunta. Esto puede no ser el caso, en general, pero, en general, la línea se intersecan al menos dos de los tres lados del triángulo, y aún podemos aplicar esta solución después de la reasignación de las letras $A$, $B$ y $C$ adecuadamente.

Parte 0. La idea básica.

Aquí es cómo podemos pensar en el problema: construir una línea que pasa a través de $D$, se reúne $BA$ $BC$ $F$ $G$ respectivamente, y tales que el producto de $|BF| \cdot |BG|$ es igual a un cierto valor fijo $s$. Mediante el uso de un adecuado $s$ que puede hacer que el área de $\triangle BFG$ igual a cualquier perscribed valor.

Así que, ¿cómo podemos controlar el valor de $|BF| \cdot |BG|$? Con compás y regla, es difícil para el control de los productos. En mi experiencia, es más fácil el control de cocientes, probablemente porque es más fácil imaginar lo que dos segmentos con un cociente de aspecto. Sé que esto suena vago, pero no puedo evitarlo.

Aún así, hay un lugar fresco en el "constructivo" de la geometría en la que los productos aparecen. Aparecen en la definición de las inversiones. Las inversiones pueden ser muy útiles, además de que es posible implementar inversiones con regla y compás. Tal vez podemos usar una inversión aquí también?

Pero espera, $B$, $F$ y $G$ no están en la misma línea, y los puntos que aparecen en la definición de una inversión debe estar en la misma línea! Qué hacer? Así, si se quiere sólo una sugerencia, entonces ya he dicho lo suficiente. Ahora que sabes que realmente existe es una solución que implica una inversión, usted puede intentar terminar ti mismo. Si desea que el conjunto solución de leer.

Parte 1. De la construcción.

Me tomé mi tiempo para realmente hacer toda la construcción en Coche, aquí está el diagrama resultante (con la mayoría de los detalles ocultos):

1. Nos han dado un triángulo $\triangle ABC$ y un punto de $D$.
2. Construir $M$ - la media de $BC$.
3. Construir $D'$ tal que los triángulos $\triangle BD'M$ $\triangle BAD$ son similares (con el orden de los vértices) y se orientan en la misma forma, es decir, $D'$ es de $BM$, no más.
4. Continúe $D'B$ más allá del punto de $B$ para obtener ray $BV$.
5. Construir un punto de $U$ tal que $\angle D'UD = \angle VBA$. Los ángulos de aquí se entiende como orientado a los ángulos. Para decirlo de otra manera, el punto de $U$ debe estar en la "derecha" de la línea $DD'$. Tenga en cuenta que el punto de $U$ no está definida de forma única, pero está bien. Es muy fácil venir para arriba con un montón de maneras de construir una $U$, se puede elegir cualquiera de estas formas.
6. Construir la circunferencia circunscrita de $\triangle DD'U$.
7. Construir $G$, que es el punto de intersección de los rayos $BM$ y el arc $DUD'$.
8. Hemos terminado de la línea de $DG$ es la respuesta.

Parte 2. Prueba.

Vamos a probar ahora que la línea $DG$ que hemos construido realmente divide a $\triangle ABC$ a un triángulo y un cuadrilátero con áreas iguales. El orden de la prueba será más o menos opuesta a la orden de la construcción anterior.

1. Por construcción, los puntos de $D$, $D'$, $G$ y $U$ son concyclic. De ello se desprende que $\angle D'GD = \angle D'UD$. También por la construcción de $\angle D'UD = \angle VBA$. Por eso, $\angle D'GD = \angle VBA$. Podemos reescribir así: $\angle D'GF = 180^{\circ} - \angle D'BF$ (aquí se $F$ es el punto donde $DG$ cumple con $AB$). Por lo tanto, $BD'GF$ es un cuadrilátero inscrito.
2. Vamos a presentar dos de las transformaciones en el plano (técnicamente, el avión con un adicional de "infinito"). La transformación de $f$ va a ser una inversión con el centro $B$ y radio de $r=\sqrt{|BG|\cdot |BF|}$. La transformación de $g$ va a ser simplemente una reflexión a través de la bisectriz de $\angle ABM$. Deje $h = g \circ f$ ser su composición. Debido a nuestra selección de $r$ es fácil ver que $h(F) = G$$h(G) = F$.
3. Una conocida propiedad de inversiones, $h$ mapa de la circunferencia circunscrita de $BD'GF$ en una línea recta. Desde $h(F)=G$$h(G)=F$, esta línea es $FG$. De ello se desprende que $h(D')$ pertenece a la línea de $FG$.
4. Por definición de una inversión, punto de $f(D')$ se encuentra en ray $BD'$. Por la construcción de $D'$, $\angle D'BM = \angle ABD$. Por lo tanto, $g$ mapas de rayos $BD'$ a ray $BD$. De ello se desprende que $h(D')=g(f(D'))$ se encuentra en ray $BD$.
5. Hemos establecido que la $h(D')$ se encuentra en el mismo tiempo, en la línea de $FG$ y en ray $BD$. Por lo tanto, $h(D')=D$.
6. Por definición de la inversión $f$, ahora tenemos $|BD'| \cdot |BD| = r^2 = |BG| \cdot |BF|$. Por otro lado, hemos construido punto de $D'$ de tal manera que $\triangle BD'M$ es similar a $\triangle BAD$, lo $|BD'| \cdot |BD| = |BM| \cdot |BA|$. De ello se desprende que $|BG|\cdot |BF| = |BM| \cdot |BA|$.
7. $M$ es la media de $BC$, lo $|BG| \cdot |BF| = \frac{1}{2} |BC| \cdot |BA|$, lo que significa que el área de $\triangle BFG$ es igual a la mitad de la superficie de $\triangle ABC$, tal como se requiere.

ACTUALIZACIÓN: Ahora que lo pienso, uno puede simplificar los pasos 2 a 6 de la prueba y evitar el uso de inversiones. Va como esto: ya que los puntos $B$, $D'$, $G$ y $F$ son concyclic, $\angle BD'G = \angle BFD$. También por la construcción de $\angle D'BG = \angle FBD$. Así triángulos $\triangle BD'G$ $\triangle BFD$ son similares, y $|BD'|\cdot|BD|=|BF|\cdot|BG|$. Después de esto, se vaya al paso 6.

Así, pues resulta que se puede demostrar la construcción sin el uso de las inversiones.

Answer 2

He aquí otra respuesta alternativa a dividir el triángulo en dos partes iguales - http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa07/Gilbert/6690/Essay%201/Half%20the%20Area%20of%20a%20Triangle1.htm