Demuestra que hay exactamente 16 soluciones para este problema.

Question

Demuestre que sólo hay 16 soluciones enteras para la siguiente ecuación: $$11x + 8y + 17 = xy$$ Lo que intenté: Tomé un módulo 2, y obtuve que $y$ debe ser par y $x$ debe ser impar. Pero más allá de eso, no sé realmente cómo empezar.

Answer 1

He aquí un método algebraico: $$17=xy-11x-8y$$ $$\iff 105=xy-11x-8y+88$$ $$\iff 105=(x-8)(y-11)$$

Answer 2

Una pista:

1. Resolver para $x$ para ver, que hay una solución entera para un determinado $y\in\mathbb Z$ , si: $$y-11\mid 8y+17$$
2. Concluir $y-11\mid 105$ .
3. Comprueba las restantes posibilidades (finitas).

Answer 3

11x + 17 = y(x - 8)
y = (11x + 17)/(x - 8)
y = 11(x - 8) + {105/(x - 8)}

Ahora bien, 11(x - 8) puede tener x infinito. Pero, 105/(x - 8) debe ser un número entero también para que y sea un número entero. Así, vemos que 105 es divisible por estos números = 1 x 105, 3 x 35, 5 x 21, 7 x 15. Por tanto, 105 es divisible por 1,3,5,7,15,21,35,105. También, el negativo de estos números. Así que tenemos 8 + 8 = 16 números.

Así, la posible x se resolverá así:

x - 8 = 1
x - 8 = 3
...
x - 8 = 105
x - 8 = -1
x - 8 = -3
...
x - 8 = -105

¡Estos son los valores de x para los que y será un número entero! (16)