Integral $\int_0^\infty\left(x+5\,x^5\right)\operatorname{erfc}\left(x+x^5\right)\,dx$

Question

¿Es posible encontrar una forma cerrada (posiblemente utilizando funciones especiales conocidas) para esta integral? $$\int_0^\infty\left(5\,x^5+x\right)\operatorname{erfc}\left(x^5+x\right)\,dx$$ donde $\operatorname{erfc}$ es la función de error complementaria $$\operatorname{erfc} x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-z^2}dz.$$

Answer 1

Con la ayuda de Mathematica Obtuve este resultado: $$\int_0^\infty\left(5\,x^5+x\right)\operatorname{erfc}\left(x^5+x\right)dx=J_{\frac25}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)\left(\frac8{375}\sqrt{\frac25\left(5-\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac45}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)-\frac8{375}\sqrt{\frac25\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac65}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)\right)+J_{-\frac25}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)\left(\frac1{75}\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{-\frac15}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)+\frac1{25}\left(\sqrt5-5\right)\sqrt{\frac1{10}\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac15}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)-\frac8{375}\sqrt{\frac25\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac45}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)-\frac{4\left(\sqrt5-5\right)\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac65}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)}{1875}\right)+J_{-\frac15}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)\left(\frac1{25}\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac25}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)+\frac8{375}\sqrt{\frac25\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac35}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)-\frac8{375}\sqrt{\frac25\left(5-\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac75}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)\right)+J_{\frac15}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)\left(-\frac1{75}\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac25}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)+\frac{4\left(\sqrt5-5\right)\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac35}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)}{1875}+\frac8{375}\sqrt{\frac25\left(5+\sqrt5\right)}\,\pi\,J_{\frac75}\left(\frac8{25\sqrt5}\right)\right),$$ donde $J_\nu(x)$ es el Función de Bessel del primer tipo .

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Un esbozo de solución:

Tenga en cuenta que $(5\,x^5+x)=x\frac{d}{dx}(x^5+x)$ . Cambiar la variable de integración $y=x^5+x$ entonces la integral toma la forma $$\int_0^\infty\mathcal{BR}(y)\cdot\operatorname{erfc}y\,dy,$$ donde $y\mapsto\mathcal{BR}(y)$ es la inversa (seleccionada adecuadamente para satisfacer $\mathcal{BR}(y)>0$ para $y>0$ ) de la función polinómica $x \mapsto x^5+x$ . Se trata de una conocida función no elemental denominada Aportar radicalidad puede utilizarse para expresar soluciones de ecuaciones quínticas de forma explícita.

Un dato importante, tiene una representación a través de una función hipergeométrica generalizada (la utilicé para responder a otra pregunta hace un tiempo). Si introducimos la representación hipergeométrica en la integral y la pasamos a Mathematica produce el resultado en términos de funciones de Bessel que se muestra arriba. Dejo este paso sin una demostración rigurosa y me baso en Mathematica aquí. El resultado concuerda con una integración numérica de gran precisión. Me alegraría mucho si alguien pudiera escribir una derivación explícita de la fórmula.

Answer 2

Pista:

$\int_0^\infty(5x^5+x)\text{erfc}(x^5+x)~dx$

$=\int_0^\infty\text{erfc}(x^5+x)~d\left(\dfrac{5x^6}{6}+\dfrac{x^2}{2}\right)$

$=\left[\left(\dfrac{5x^6}{6}+\dfrac{x^2}{2}\right)\text{erfc}(x^5+x)\right]_0^\infty-\int_0^\infty\left(\dfrac{5x^6}{6}+\dfrac{x^2}{2}\right)d(\text{erfc}(x^5+x))$

$=\int_0^\infty\left(\dfrac{5x^6}{6}+\dfrac{x^2}{2}\right)(5x^4+1)\dfrac{2e^{-x^2(x^8+1)}}{\sqrt\pi}dx$

$=\dfrac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-(\sinh^\frac{1}{2}x)(\sinh^2x+1)}\left(\dfrac{5\sinh^\frac{3}{2}x}{6}+\dfrac{\sinh^\frac{1}{2}x}{2}\right)(5\sinh x+1)~d(\sinh^\frac{1}{4}x)$

$=\dfrac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-\sinh^\frac{1}{2}x\cosh^2x}~\left(\dfrac{5\sinh^\frac{3}{2}x}{6}+\dfrac{\sinh^\frac{1}{2}x}{2}\right)(5\sinh x+1)\sinh^{-\frac{3}{4}}x\cosh x~dx$

Por eso puede relacionarse con la función de Bessel.